数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(可逆行列、逆行列の転置行列と転置行列の逆行列)

ラング線形代数学(上)
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題13の解答を求めてみる。

13. 
    

    A の逆行列を B とおく。

    $\begin{array}{}B=A^{-1}\\ B=\left(b_{ij}\right)\\ A^T{\left(A^{-1}\right)}^T\\ =A^T{B}^T\\ ={\left(a_{ij}\right)}^T{\left(b_{ij}\right)}^T\\ =\left(a_{ji}\right)\left(b_{ji}\right)\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ki}{b}_{jk}\right)\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{jk}{a}_{ki}\right)\\ =I\end{array}$

    よって、

    ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, randMatrix
print('13.')

a = symbols('a')

for n in range(1, 6):
    for _ in range(2):
        A = randMatrix(n)
        try:
            for t in [A, A ** -1, (A ** -1).T, A.T, A.T ** -1,
                      (A ** -1).T == A.T ** -1]:
                pprint(t)
                print()
        except Exception as err:
            print(type(err), err)

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample13.py
13.
[99]

[1/99]

[1/99]

[99]

[1/99]

True

[59]

[1/59]

[1/59]

[59]

[1/59]

True

⎡38  9 ⎤
⎢      ⎥
⎣49  79⎦

⎡ 79          ⎤
⎢────  -9/2561⎥
⎢2561         ⎥
⎢             ⎥
⎢-49     38   ⎥
⎢────   ────  ⎥
⎣2561   2561  ⎦

⎡  79     -49 ⎤
⎢ ────    ────⎥
⎢ 2561    2561⎥
⎢             ⎥
⎢          38 ⎥
⎢-9/2561  ────⎥
⎣         2561⎦

⎡38  49⎤
⎢      ⎥
⎣9   79⎦

⎡  79     -49 ⎤
⎢ ────    ────⎥
⎢ 2561    2561⎥
⎢             ⎥
⎢          38 ⎥
⎢-9/2561  ────⎥
⎣         2561⎦

True

⎡40  84⎤
⎢      ⎥
⎣31  2 ⎦

⎡          21 ⎤
⎢-1/1262  ─── ⎥
⎢         631 ⎥
⎢             ⎥
⎢  31     -10 ⎥
⎢ ────    ────⎥
⎣ 2524    631 ⎦

⎡          31 ⎤
⎢-1/1262  ────⎥
⎢         2524⎥
⎢             ⎥
⎢   21    -10 ⎥
⎢  ───    ────⎥
⎣  631    631 ⎦

⎡40  31⎤
⎢      ⎥
⎣84  2 ⎦

⎡          31 ⎤
⎢-1/1262  ────⎥
⎢         2524⎥
⎢             ⎥
⎢   21    -10 ⎥
⎢  ───    ────⎥
⎣  631    631 ⎦

True

⎡92  2   46⎤
⎢          ⎥
⎢26  49  80⎥
⎢          ⎥
⎣99  18  58⎦

⎡-701    -356    1047 ⎤
⎢─────   ─────  ───── ⎥
⎢29905   29905  29905 ⎥
⎢                     ⎥
⎢-3206   -391    3082 ⎥
⎢──────  ─────  ───── ⎥
⎢29905   29905  29905 ⎥
⎢                     ⎥
⎢ 4383    729   -2228 ⎥
⎢─────   ─────  ──────⎥
⎣59810   29905  29905 ⎦

⎡-701   -3206    4383 ⎤
⎢─────  ──────  ───── ⎥
⎢29905  29905   59810 ⎥
⎢                     ⎥
⎢-356   -391     729  ⎥
⎢─────  ─────   ───── ⎥
⎢29905  29905   29905 ⎥
⎢                     ⎥
⎢ 1047   3082   -2228 ⎥
⎢─────  ─────   ──────⎥
⎣29905  29905   29905 ⎦

⎡92  26  99⎤
⎢          ⎥
⎢2   49  18⎥
⎢          ⎥
⎣46  80  58⎦

⎡-701   -3206    4383 ⎤
⎢─────  ──────  ───── ⎥
⎢29905  29905   59810 ⎥
⎢                     ⎥
⎢-356   -391     729  ⎥
⎢─────  ─────   ───── ⎥
⎢29905  29905   29905 ⎥
⎢                     ⎥
⎢ 1047   3082   -2228 ⎥
⎢─────  ─────   ──────⎥
⎣29905  29905   29905 ⎦

True

⎡34  18  23⎤
⎢          ⎥
⎢40  34  69⎥
⎢          ⎥
⎣0   74  66⎦

⎡ 1431  -257   -115 ⎤
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎢38374  38374  19187⎥
⎢                   ⎥
⎢ 660   -561    713 ⎥
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎢19187  19187  38374⎥
⎢                   ⎥
⎢-740    629   -109 ⎥
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎣19187  19187  19187⎦

⎡ 1431   660   -740 ⎤
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎢38374  19187  19187⎥
⎢                   ⎥
⎢-257   -561    629 ⎥
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎢38374  19187  19187⎥
⎢                   ⎥
⎢-115    713   -109 ⎥
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎣19187  38374  19187⎦

⎡34  40  0 ⎤
⎢          ⎥
⎢18  34  74⎥
⎢          ⎥
⎣23  69  66⎦

⎡ 1431   660   -740 ⎤
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎢38374  19187  19187⎥
⎢                   ⎥
⎢-257   -561    629 ⎥
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎢38374  19187  19187⎥
⎢                   ⎥
⎢-115    713   -109 ⎥
⎢─────  ─────  ─────⎥
⎣19187  38374  19187⎦

True

⎡98  27  82  70⎤
⎢              ⎥
⎢46  70  88  16⎥
⎢              ⎥
⎢15  82  5   12⎥
⎢              ⎥
⎣22  44  34  63⎦

⎡  8121     -8829      5942     -9034  ⎤
⎢ ──────    ──────    ──────    ────── ⎥
⎢ 483173    966346    483173    483173 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢-28903     18478     127594     3118  ⎥
⎢────────  ────────  ────────  ────────⎥
⎢11112979  11112979  11112979  11112979⎥
⎢                                      ⎥
⎢-73687     356057   -164163    67930  ⎥
⎢────────  ────────  ────────  ────────⎥
⎢11112979  22225958  11112979  11112979⎥
⎢                                      ⎥
⎢ -5272    -73528    -48242     210117 ⎥
⎢────────  ────────  ────────  ────────⎥
⎣11112979  11112979  11112979  11112979⎦

⎡ 8121   -28903    -73687     -5272  ⎤
⎢──────  ────────  ────────  ────────⎥
⎢483173  11112979  11112979  11112979⎥
⎢                                    ⎥
⎢-8829    18478     356057   -73528  ⎥
⎢──────  ────────  ────────  ────────⎥
⎢966346  11112979  22225958  11112979⎥
⎢                                    ⎥
⎢ 5942    127594   -164163   -48242  ⎥
⎢──────  ────────  ────────  ────────⎥
⎢483173  11112979  11112979  11112979⎥
⎢                                    ⎥
⎢-9034     3118     67930     210117 ⎥
⎢──────  ────────  ────────  ────────⎥
⎣483173  11112979  11112979  11112979⎦

⎡98  46  15  22⎤
⎢              ⎥
⎢27  70  82  44⎥
⎢              ⎥
⎢82  88  5   34⎥
⎢              ⎥
⎣70  16  12  63⎦

⎡ 8121   -28903    -73687     -5272  ⎤
⎢──────  ────────  ────────  ────────⎥
⎢483173  11112979  11112979  11112979⎥
⎢                                    ⎥
⎢-8829    18478     356057   -73528  ⎥
⎢──────  ────────  ────────  ────────⎥
⎢966346  11112979  22225958  11112979⎥
⎢                                    ⎥
⎢ 5942    127594   -164163   -48242  ⎥
⎢──────  ────────  ────────  ────────⎥
⎢483173  11112979  11112979  11112979⎥
⎢                                    ⎥
⎢-9034     3118     67930     210117 ⎥
⎢──────  ────────  ────────  ────────⎥
⎣483173  11112979  11112979  11112979⎦

True

⎡72  12  0   31⎤
⎢              ⎥
⎢11  25  50  81⎥
⎢              ⎥
⎢43  82  90  58⎥
⎢              ⎥
⎣63  42  82  90⎦

⎡ 4679    -4106   -13627    55015 ⎤
⎢──────   ──────  ───────  ───────⎥
⎢606554   303277  4852432  4852432⎥
⎢                                 ⎥
⎢  355     419      2153   -3385  ⎥
⎢ ─────   ─────    ─────   ────── ⎥
⎢ 23329   23329    93316   93316  ⎥
⎢                                 ⎥
⎢-27897   -7788   -68091    345047⎥
⎢───────  ──────  ───────  ───────⎥
⎢1213108  303277  9704864  9704864⎥
⎢                                 ⎥
⎢ 2563     7428   -1461    -7455  ⎥
⎢──────   ──────  ──────   ────── ⎥
⎣303277   303277  606554   606554 ⎦

⎡ 4679     355    -27897    2563 ⎤
⎢──────   ─────   ───────  ──────⎥
⎢606554   23329   1213108  303277⎥
⎢                                ⎥
⎢-4106     419    -7788     7428 ⎥
⎢──────   ─────   ──────   ──────⎥
⎢303277   23329   303277   303277⎥
⎢                                ⎥
⎢-13627    2153   -68091   -1461 ⎥
⎢───────  ─────   ───────  ──────⎥
⎢4852432  93316   9704864  606554⎥
⎢                                ⎥
⎢ 55015   -3385    345047  -7455 ⎥
⎢───────  ──────  ───────  ──────⎥
⎣4852432  93316   9704864  606554⎦

⎡72  11  43  63⎤
⎢              ⎥
⎢12  25  82  42⎥
⎢              ⎥
⎢0   50  90  82⎥
⎢              ⎥
⎣31  81  58  90⎦

⎡ 4679     355    -27897    2563 ⎤
⎢──────   ─────   ───────  ──────⎥
⎢606554   23329   1213108  303277⎥
⎢                                ⎥
⎢-4106     419    -7788     7428 ⎥
⎢──────   ─────   ──────   ──────⎥
⎢303277   23329   303277   303277⎥
⎢                                ⎥
⎢-13627    2153   -68091   -1461 ⎥
⎢───────  ─────   ───────  ──────⎥
⎢4852432  93316   9704864  606554⎥
⎢                                ⎥
⎢ 55015   -3385    345047  -7455 ⎥
⎢───────  ──────  ───────  ──────⎥
⎣4852432  93316   9704864  606554⎦

True

⎡23  45  15  31  19⎤
⎢                  ⎥
⎢74  91  97  59  92⎥
⎢                  ⎥
⎢75  58  22  40  62⎥
⎢                  ⎥
⎢60  18  84  26  31⎥
⎢                  ⎥
⎣0   58  80  88  63⎦

⎡  755108   -1214446    1376857    1364947    -480897 ⎤
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢112659575  112659575  112659575  112659575  112659575⎥
⎢                                                     ⎥
⎢ 6709687    3597581   -3958377   -1030546   -2367433 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢225319150  225319150  225319150  112659575  225319150⎥
⎢                                                     ⎥
⎢  372149    1784737   -3276779    1752141    -177958 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢225319150  225319150  225319150  225319150  112659575⎥
⎢                                                     ⎥
⎢ 210997    -601039     350743     443941     719349  ⎥
⎢────────   ────────   ────────   ────────   ──────── ⎥
⎢22531915   22531915   22531915   45063830   45063830 ⎥
⎢                                                     ⎥
⎢-4798501    1408537    1452971   -1713984     591984 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎣112659575  112659575  112659575  112659575  112659575⎦

⎡  755108    6709687     372149    210997   -4798501 ⎤
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎢112659575  225319150  225319150  22531915  112659575⎥
⎢                                                    ⎥
⎢-1214446    3597581    1784737   -601039    1408537 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎢112659575  225319150  225319150  22531915  112659575⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ 1376857   -3958377   -3276779    350743    1452971 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎢112659575  225319150  225319150  22531915  112659575⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ 1364947   -1030546    1752141    443941   -1713984 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎢112659575  112659575  225319150  45063830  112659575⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ -480897   -2367433    -177958    719349     591984 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎣112659575  225319150  112659575  45063830  112659575⎦

⎡23  74  75  60  0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢45  91  58  18  58⎥
⎢                  ⎥
⎢15  97  22  84  80⎥
⎢                  ⎥
⎢31  59  40  26  88⎥
⎢                  ⎥
⎣19  92  62  31  63⎦

⎡  755108    6709687     372149    210997   -4798501 ⎤
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎢112659575  225319150  225319150  22531915  112659575⎥
⎢                                                    ⎥
⎢-1214446    3597581    1784737   -601039    1408537 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎢112659575  225319150  225319150  22531915  112659575⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ 1376857   -3958377   -3276779    350743    1452971 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎢112659575  225319150  225319150  22531915  112659575⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ 1364947   -1030546    1752141    443941   -1713984 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎢112659575  112659575  225319150  45063830  112659575⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ -480897   -2367433    -177958    719349     591984 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ────────  ─────────⎥
⎣112659575  225319150  112659575  45063830  112659575⎦

True

⎡40  98  28  36  53⎤
⎢                  ⎥
⎢77  46  11  49  85⎥
⎢                  ⎥
⎢87  96  18  88  45⎥
⎢                  ⎥
⎢99  33  70  60  73⎥
⎢                  ⎥
⎣25  23  21  90  13⎦

⎡-7802281   -44336     3152193    3145216   -7280930 ⎤
⎢─────────  ────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢506843259  12995981  168947753  506843259  506843259⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ 1648656   -211180    2563669   -1636357   -1899496 ⎥
⎢─────────  ────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢168947753  38987943  506843259  506843259  506843259⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ 5028326   -537722   -4580014    7029575    1586399 ⎥
⎢─────────  ────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢506843259  38987943  506843259  506843259  506843259⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ -294616    38603     -313119    -611115    2435391 ⎥
⎢─────────  ────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢168947753  12995981  168947753  168947753  168947753⎥
⎢                                                    ⎥
⎢ 4250095    696284   -8819726   -1816478    3206536 ⎥
⎢─────────  ────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎣506843259  38987943  506843259  506843259  506843259⎦

⎡-7802281    1648656    5028326    -294616    4250095 ⎤
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢506843259  168947753  506843259  168947753  506843259⎥
⎢                                                     ⎥
⎢-44336     -211180    -537722     38603      696284  ⎥
⎢────────   ────────   ────────   ────────   ──────── ⎥
⎢12995981   38987943   38987943   12995981   38987943 ⎥
⎢                                                     ⎥
⎢ 3152193    2563669   -4580014    -313119   -8819726 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢168947753  506843259  506843259  168947753  506843259⎥
⎢                                                     ⎥
⎢ 3145216   -1636357    7029575    -611115   -1816478 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢506843259  506843259  506843259  168947753  506843259⎥
⎢                                                     ⎥
⎢-7280930   -1899496    1586399    2435391    3206536 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎣506843259  506843259  506843259  168947753  506843259⎦

⎡40  77  87  99  25⎤
⎢                  ⎥
⎢98  46  96  33  23⎥
⎢                  ⎥
⎢28  11  18  70  21⎥
⎢                  ⎥
⎢36  49  88  60  90⎥
⎢                  ⎥
⎣53  85  45  73  13⎦

⎡-7802281    1648656    5028326    -294616    4250095 ⎤
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢506843259  168947753  506843259  168947753  506843259⎥
⎢                                                     ⎥
⎢-44336     -211180    -537722     38603      696284  ⎥
⎢────────   ────────   ────────   ────────   ──────── ⎥
⎢12995981   38987943   38987943   12995981   38987943 ⎥
⎢                                                     ⎥
⎢ 3152193    2563669   -4580014    -313119   -8819726 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢168947753  506843259  506843259  168947753  506843259⎥
⎢                                                     ⎥
⎢ 3145216   -1636357    7029575    -611115   -1816478 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎢506843259  506843259  506843259  168947753  506843259⎥
⎢                                                     ⎥
⎢-7280930   -1899496    1586399    2435391    3206536 ⎥
⎢─────────  ─────────  ─────────  ─────────  ─────────⎥
⎣506843259  506843259  506843259  168947753  506843259⎦

True

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