数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(n次元正方行列、トレース(跡)、可換、逆行列)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題21の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} t r A B \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i}) \\ t r B A \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k i}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} a_{k i} b_{i k}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i}) \end{array}$
  
  よって、
  
  $t r A B = t r B A$
2. $B^{- 1} = (c_{i j})$
  
  とおく。
  このとき、(i, j)成分について、
  
  $\begin{array}{l} B B^{- 1} = I \\ (\sum_{k = 1}^{n} b_{i k} c_{k j}) = I \\ i = j \\ \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} c_{k j} = \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} c_{k i} = 1 \\ i \neq j \\ \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} c_{k j} = 0 \end{array}$
  
  また、
  
  $\begin{array}{l} B^{- 1} A B \\ = (\sum_{k = 1}^{n} c_{i k} a_{k j}) B \\ = (\sum_{l = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} c_{i k} a_{k l}) b_{l j}) \\ = (\sum_{l = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} b_{l j} c_{i k} a_{k l})) \\ t r (B^{- 1} A B) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{l = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} b_{l i} c_{i k} a_{k l})) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{l = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} b_{i l} c_{l k} a_{k i})) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{l = 1}^{n} b_{i l} c_{l i} a_{i i}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{l = 1}^{n} b_{i l} c_{l k}) a_{i i} \\ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} \end{array}$
  
  よって、行列 B が可逆ならば、
  
  $t r (B^{- 1} A B) = t r A$
  
  が成り立つ。
  
  （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, randMatrix

print('21.')

for n in range(1, 6):
    A = randMatrix(n)
    B = randMatrix(n)
    try:
        for t in [A, B, (A * B).trace() == (B * A).trace(),
                  (B**-1 * A * B).trace() == A.trace()]:
            pprint(t)
            print()
        print()
    except Exception as err:
        print(type(err), err)

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample21.py
21.
[66]

[69]

True

True


⎡95  54⎤
⎢      ⎥
⎣35  17⎦

⎡24  42⎤
⎢      ⎥
⎣62  36⎦

True

True


⎡56  80  19⎤
⎢          ⎥
⎢13  29  80⎥
⎢          ⎥
⎣77  18  74⎦

⎡91  13  29⎤
⎢          ⎥
⎢90  66  10⎥
⎢          ⎥
⎣20  44  9 ⎦

True

True


⎡55  60  31  63⎤
⎢              ⎥
⎢31  63  82  3 ⎥
⎢              ⎥
⎢65  87  79  73⎥
⎢              ⎥
⎣54  68  99  56⎦

⎡98  33  73  49⎤
⎢              ⎥
⎢26  96  9   44⎥
⎢              ⎥
⎢81  65  11  86⎥
⎢              ⎥
⎣96  6   66  26⎦

True

True


⎡0   45  99  94  11⎤
⎢                  ⎥
⎢74  2   90  15  1 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   95  44  9   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢52  26  26  85  90⎥
⎢                  ⎥
⎣33  21  59  48  41⎦

⎡67  49  38  18  30⎤
⎢                  ⎥
⎢82  55  91  41  26⎥
⎢                  ⎥
⎢74  15  50  22  98⎥
⎢                  ⎥
⎢64  30  24  4   57⎥
⎢                  ⎥
⎣82  0   68  79  8 ⎦

True

True


C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年2月18日月曜日

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