数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(転置行列、スカラー積の性質)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{}A=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_n^{⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->}\end{array}\right]\\ B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ :\\ b_n\end{array}\right]\\ C=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ :\\ .\\ c_n\end{array}\right]\\ M=\left(m_{ij}\right)\end{array}$

    とおく。

    SPI の可換律について。

    $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =A^{T}MB\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{m}_{kj}\right)B\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(a_k{m}_{kl}{b}_l\right)\right)\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(b_l{m}_{kl}{a}_k\right)\right)\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(b_l{m}_{kl}{a}_k\right)\right)\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(b_l{m}_{lk}{a}_k\right)\right)\left(M^T=M\right)\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_l{m}_{lj}\right)A\\ =B^{T}MA\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

    SP 2の分配律について。

    $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B+C,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B+C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =A^{T}M\left(B+C\right)\\ =A^{T}MB+A^{T}MC\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

    SP 3のスカラー倍について。

    $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->xA,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =x{A}^{T}MB\\ =x⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,xB⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =A^{T}M\left(xB\right)\\ =x{A}^{T}MB\\ =x⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

    よって、正値性の条件 SP 4を除くスカラー積の条件が成り立つ。

    負の数となる例。

    $\begin{array}{}A=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\\ B=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]\\ M=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =A^{T}MB\\ =\left[1,0\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]\\ =\left[-1,0\right]\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, randMatrix, Matrix
print('10.')


def dot(A, B, M):
    return A.T * M * B


def cmp(A, B):
    return A[0].expand() == B[0].expand()


x = symbols('x')
for n in range(1, 6):
    A = Matrix([symbols(f'a{i}') for i in range(1, n + 1)])
    B = Matrix([symbols(f'b{i}') for i in range(1, n + 1)])
    C = Matrix([symbols(f'c{i}') for i in range(1, n + 1)])
    for _ in range(2):
        M = randMatrix(n, symmetric=True)
        for t in [A.T, B.T, C.T, M,
                  cmp(dot(A, B, M), dot(B, A, M)),
                  cmp(dot(A + B, C, M), dot(A, C, M) + dot(B, C, M)),
                  cmp(dot(A, B + C, M), dot(A, B, M) + dot(A, C, M)),
                  cmp(dot(x * A, B, M), x * dot(A, B, M)),
                  cmp(dot(A, x * B, M), x * dot(A, B, M))]:
            pprint(t)

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample10.py
10.
[a₁]
[b₁]
[c₁]
[94]
True
True
True
True
True
[a₁]
[b₁]
[c₁]
[54]
True
True
True
True
True
[a₁  a₂]
[b₁  b₂]
[c₁  c₂]
⎡89  47⎤
⎢      ⎥
⎣47  2 ⎦
True
True
True
True
True
[a₁  a₂]
[b₁  b₂]
[c₁  c₂]
⎡80  9 ⎤
⎢      ⎥
⎣9   59⎦
True
True
True
True
True
[a₁  a₂  a₃]
[b₁  b₂  b₃]
[c₁  c₂  c₃]
⎡99  12  94⎤
⎢          ⎥
⎢12  59  93⎥
⎢          ⎥
⎣94  93  63⎦
True
True
True
True
True
[a₁  a₂  a₃]
[b₁  b₂  b₃]
[c₁  c₂  c₃]
⎡40  39  78⎤
⎢          ⎥
⎢39  7   88⎥
⎢          ⎥
⎣78  88  87⎦
True
True
True
True
True
[a₁  a₂  a₃  a₄]
[b₁  b₂  b₃  b₄]
[c₁  c₂  c₃  c₄]
⎡34  27  2   53⎤
⎢              ⎥
⎢27  71  53  73⎥
⎢              ⎥
⎢2   53  50  47⎥
⎢              ⎥
⎣53  73  47  85⎦
True
True
True
True
True
[a₁  a₂  a₃  a₄]
[b₁  b₂  b₃  b₄]
[c₁  c₂  c₃  c₄]
⎡15  55  17  24⎤
⎢              ⎥
⎢55  35  67  21⎥
⎢              ⎥
⎢17  67  13  6 ⎥
⎢              ⎥
⎣24  21  6   54⎦
True
True
True
True
True
[a₁  a₂  a₃  a₄  a₅]
[b₁  b₂  b₃  b₄  b₅]
[c₁  c₂  c₃  c₄  c₅]
⎡3   33  86  69  21⎤
⎢                  ⎥
⎢33  51  22  63  21⎥
⎢                  ⎥
⎢86  22  63  17  92⎥
⎢                  ⎥
⎢69  63  17  38  92⎥
⎢                  ⎥
⎣21  21  92  92  60⎦
True
True
True
True
True
[a₁  a₂  a₃  a₄  a₅]
[b₁  b₂  b₃  b₄  b₅]
[c₁  c₂  c₃  c₄  c₅]
⎡16  38  70  36  10⎤
⎢                  ⎥
⎢38  31  58  99  62⎥
⎢                  ⎥
⎢70  58  75  95  62⎥
⎢                  ⎥
⎢36  99  95  57  11⎥
⎢                  ⎥
⎣10  62  62  11  50⎦
True
True
True
True
True

C:\Users\...>