数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(上三角行列、累乗、3次、4次、零ベクトル)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{}{A}^2\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\\ A^3\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$

    4×4行列。

    $\begin{array}{}A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ A^2\\ =\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ A^3\\ =\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ A^4\\ =\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, randMatrix, Matrix
print('11.')


def f(i, j):
    if i < j:
        return 1
    return 0


for n in range(3, 9):
    A = Matrix([[f(i, j) for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    for k in range(1, n + 1):
        print(f'A^{k}')
        pprint(A ** k)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample10.py
11.
A^1
⎡0  1  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  1⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦
A^2
⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦
A^3
⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

A^1
⎡0  1  1  1⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  1  1⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  1⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦
A^2
⎡0  0  1  2⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  1⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦
A^3
⎡0  0  0  1⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦
A^4
⎡0  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦

A^1
⎡0  1  1  1  1⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  1  1  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  1  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  1⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦
A^2
⎡0  0  1  2  3⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  1  2⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦
A^3
⎡0  0  0  1  3⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦
A^4
⎡0  0  0  0  1⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦
A^5
⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦

A^1
⎡0  1  1  1  1  1⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  1  1  1  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  1  1  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  1  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  1⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦
A^2
⎡0  0  1  2  3  4⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  1  2  3⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  1  2⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦
A^3
⎡0  0  0  1  3  6⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  1  3⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦
A^4
⎡0  0  0  0  1  4⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦
A^5
⎡0  0  0  0  0  1⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦
A^6
⎡0  0  0  0  0  0⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦

A^1
⎡0  1  1  1  1  1  1⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  1  1  1  1  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  1  1  1  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  1  1  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦
A^2
⎡0  0  1  2  3  4  5⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  1  2  3  4⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  1  2  3⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  2⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦
A^3
⎡0  0  0  1  3  6  10⎤
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  1  3  6 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  3 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0 ⎦
A^4
⎡0  0  0  0  1  4  10⎤
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  4 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0 ⎦
A^5
⎡0  0  0  0  0  1  5⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦
A^6
⎡0  0  0  0  0  0  1⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦
A^7
⎡0  0  0  0  0  0  0⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦

A^1
⎡0  1  1  1  1  1  1  1⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  1  1  1  1  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  1  1  1  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  1  1  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦
A^2
⎡0  0  1  2  3  4  5  6⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  1  2  3  4  5⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  1  2  3  4⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  2  3⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  2⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦
A^3
⎡0  0  0  1  3  6  10  15⎤
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  1  3  6   10⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  3   6 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1   3 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   1 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0   0 ⎦
A^4
⎡0  0  0  0  1  4  10  20⎤
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  4   10⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1   4 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   1 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0   0 ⎦
A^5
⎡0  0  0  0  0  1  5  15⎤
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  5 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                       ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0 ⎦
A^6
⎡0  0  0  0  0  0  1  6⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦
A^7
⎡0  0  0  0  0  0  0  1⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦
A^8
⎡0  0  0  0  0  0  0  0⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦

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