数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(三角行列、対角要素)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題19の解答を求めてみる。

19. 
    

    積 AB について。

    (i , j)成分について。

    $\begin{array}{}A=\left(a_{ij}\right)\\ B=\left(b_{ij}\right)\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\\ =a_{ij}{b}_{jj}\\ =\frac{a_{ij}}{a_{jj}}\end{array}$

    場合分け。

    $\begin{array}{}i=j\\ \frac{a_{ii}}{a_{ii}}=1\\ i>j\\ \frac{a_{ij}}{a_{jj}}=\frac{0}{a_{jj}}=0\end{array}$

    よって、 行列 AB は三角行列で、その対角要素は1である。

    積 BA について。

    $\begin{array}{}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{kj}\\ =b_{ii}{a}_{ij}\\ =\frac{a_{ij}}{a_{ii}}\\ i=j\\ \frac{a_{ii}}{a_{ii}}=1\\ i>j\\ \frac{a_{ij}}{a_{ii}}=\frac{0}{a_{ii}}=0\end{array}$

    よって、 BA は三角行列で、その対角要素は1である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('19.')


def a(i, j):
    if i <= j:
        return symbols(f'a{i}{j}')
    return 0


def b(i, j):
    if i == j:
        return 1 / symbols(f'a{i}{j}')
    return 0


for n in range(0, 6):
    A = Matrix([[a(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    B = Matrix([[b(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    for t in [A, B, A * B, B * A]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample19.py
19.
[]

[]

[]

[]

[a₁₁]

⎡ 1 ⎤
⎢───⎥
⎣a₁₁⎦

[1]

[1]

⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣ 0   a₂₂⎦

⎡ 1      ⎤
⎢───   0 ⎥
⎢a₁₁     ⎥
⎢        ⎥
⎢      1 ⎥
⎢ 0   ───⎥
⎣     a₂₂⎦

⎡   a₁₂⎤
⎢1  ───⎥
⎢   a₂₂⎥
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡   a₁₂⎤
⎢1  ───⎥
⎢   a₁₁⎥
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢ 0   a₂₂  a₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣ 0    0   a₃₃⎦

⎡ 1           ⎤
⎢───   0    0 ⎥
⎢a₁₁          ⎥
⎢             ⎥
⎢      1      ⎥
⎢ 0   ───   0 ⎥
⎢     a₂₂     ⎥
⎢             ⎥
⎢           1 ⎥
⎢ 0    0   ───⎥
⎣          a₃₃⎦

⎡   a₁₂  a₁₃⎤
⎢1  ───  ───⎥
⎢   a₂₂  a₃₃⎥
⎢           ⎥
⎢        a₂₃⎥
⎢0   1   ───⎥
⎢        a₃₃⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    1 ⎦

⎡   a₁₂  a₁₃⎤
⎢1  ───  ───⎥
⎢   a₁₁  a₁₁⎥
⎢           ⎥
⎢        a₂₃⎥
⎢0   1   ───⎥
⎢        a₂₂⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    1 ⎦

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢ 0   a₂₂  a₂₃  a₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢ 0    0   a₃₃  a₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣ 0    0    0   a₄₄⎦

⎡ 1                ⎤
⎢───   0    0    0 ⎥
⎢a₁₁               ⎥
⎢                  ⎥
⎢      1           ⎥
⎢ 0   ───   0    0 ⎥
⎢     a₂₂          ⎥
⎢                  ⎥
⎢           1      ⎥
⎢ 0    0   ───   0 ⎥
⎢          a₃₃     ⎥
⎢                  ⎥
⎢                1 ⎥
⎢ 0    0    0   ───⎥
⎣               a₄₄⎦

⎡   a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢1  ───  ───  ───⎥
⎢   a₂₂  a₃₃  a₄₄⎥
⎢                ⎥
⎢        a₂₃  a₂₄⎥
⎢0   1   ───  ───⎥
⎢        a₃₃  a₄₄⎥
⎢                ⎥
⎢             a₃₄⎥
⎢0   0    1   ───⎥
⎢             a₄₄⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    1 ⎦

⎡   a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢1  ───  ───  ───⎥
⎢   a₁₁  a₁₁  a₁₁⎥
⎢                ⎥
⎢        a₂₃  a₂₄⎥
⎢0   1   ───  ───⎥
⎢        a₂₂  a₂₂⎥
⎢                ⎥
⎢             a₃₄⎥
⎢0   0    1   ───⎥
⎢             a₃₃⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    1 ⎦

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢                       ⎥
⎢ 0   a₂₂  a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0   a₃₃  a₃₄  a₃₅⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0    0   a₄₄  a₄₅⎥
⎢                       ⎥
⎣ 0    0    0    0   a₅₅⎦

⎡ 1                     ⎤
⎢───   0    0    0    0 ⎥
⎢a₁₁                    ⎥
⎢                       ⎥
⎢      1                ⎥
⎢ 0   ───   0    0    0 ⎥
⎢     a₂₂               ⎥
⎢                       ⎥
⎢           1           ⎥
⎢ 0    0   ───   0    0 ⎥
⎢          a₃₃          ⎥
⎢                       ⎥
⎢                1      ⎥
⎢ 0    0    0   ───   0 ⎥
⎢               a₄₄     ⎥
⎢                       ⎥
⎢                     1 ⎥
⎢ 0    0    0    0   ───⎥
⎣                    a₅₅⎦

⎡   a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢1  ───  ───  ───  ───⎥
⎢   a₂₂  a₃₃  a₄₄  a₅₅⎥
⎢                     ⎥
⎢        a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢0   1   ───  ───  ───⎥
⎢        a₃₃  a₄₄  a₅₅⎥
⎢                     ⎥
⎢             a₃₄  a₃₅⎥
⎢0   0    1   ───  ───⎥
⎢             a₄₄  a₅₅⎥
⎢                     ⎥
⎢                  a₄₅⎥
⎢0   0    0    1   ───⎥
⎢                  a₅₅⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    1 ⎦

⎡   a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢1  ───  ───  ───  ───⎥
⎢   a₁₁  a₁₁  a₁₁  a₁₁⎥
⎢                     ⎥
⎢        a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢0   1   ───  ───  ───⎥
⎢        a₂₂  a₂₂  a₂₂⎥
⎢                     ⎥
⎢             a₃₄  a₃₅⎥
⎢0   0    1   ───  ───⎥
⎢             a₃₃  a₃₃⎥
⎢                     ⎥
⎢                  a₄₅⎥
⎢0   0    0    1   ───⎥
⎢                  a₄₄⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    1 ⎦


C:\Users\...>