数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(n次の狭義の上三角行列、n乗、零行列)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題16の解答を求めてみる。

16. 
    

    2乗について。

    
    ( i, j)成分について。

    $\begin{array}{}{A}^2\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{a}_{kj}\right)\\ =\left(\underset{k=i+1}{\overset{j-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{a}_{kj}\right)\end{array}$

    3乗について。

    
    (i, j)成分について。

    $\begin{array}{}\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\left(\underset{k=i+1}{\overset{l-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{a}_{kl}\right)a_{lj}\right)\\ =\underset{l=i+2}{\overset{j-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\left(\underset{k=i+1}{\overset{l-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{a}_{kl}\right)a_{lj}\right)\end{array}$

    4乗の場合。

    $\begin{array}{}\underset{m=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\left(\underset{l=i+2}{\overset{m-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=i+1}{\overset{l-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{a}_{kl}\right)a_{lm}\right)a_{mj}\right)\\ =\underset{m=i+3}{\overset{j-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\left(\underset{l=i+2}{\overset{m-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}=i+1}{\overset{l-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{a}_{kl}\right)a_{lm}\right)a_{mj}\right)\end{array}$

    n 乗の場合。

    $\underset{t=i+\left(n-1\right)}{\overset{j-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\right)a_{tj}$

    ここで、

    $\begin{array}{}n-1\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->j-1\\ i+\left(n-1\right)\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->j-1\end{array}$

    となるので、 すべての i、 j に対して

    $a_{tj}=0$

    となるから、 n 次(正方行列)の狭義上三角行列のn乗は零行列となる。

    
    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('16.')


def f(i, j):
    if i < j:
        return symbols(f'a{i}{j}', nonzero=True)
    return 0


for n in range(1, 6):
    A = Matrix([[f(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    for t in [A, A ** n]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample16.py
16.
[0]

[0]

⎡0  a₁₂⎤
⎢      ⎥
⎣0   0 ⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  a₁₂  a₁₃⎤
⎢           ⎥
⎢0   0   a₂₃⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    0 ⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                ⎥
⎢0   0   a₂₃  a₂₄⎥
⎢                ⎥
⎢0   0    0   a₃₄⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    0 ⎦

⎡0  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦

⎡0  a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢                     ⎥
⎢0   0   a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0   a₃₄  a₃₅⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0    0   a₄₅⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    0 ⎦

⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦


C:\Users\...>