数学 - Python - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の証明 – 相加平均と相乗平均(色々な不等式)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、相加平均と相乗平均の問18の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} \\ = 2 \end{array}$
2. $\begin{array}{l} (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) (\frac{b}{a} + \frac{d}{c}) \\ \geq 2 \sqrt{1 + \frac{a d}{b c} + \frac{b c}{a d} + 1} \\ = 2 \sqrt{2 + \frac{a d}{b c} + \frac{b c}{a d}} \\ \geq 2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{\frac{a d b c}{b c a d}}} \\ \geq 2 \sqrt{4} \\ = 4 \end{array}$
3. $\begin{array}{l} x + y \\ \geq 2 \sqrt{x y} \\ = \frac{2 x y}{\sqrt{x y}} \end{array}$
  
  よって、
  
  $\sqrt{x y} \geq \frac{2 x y}{x + y}$
4. $\begin{array}{l} (x^{3} + y^{3}) - (x^{2} y + x y^{2}) \\ = (x + y) (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \\ = (x + y) {(x - y)}^{2} \\ \geq 0 \\ x^{3} + y^{3} \geq x^{2} y + x y^{2} \end{array}$
5. $\begin{array}{l} (b + c) (c + a) (a + b) \\ \geq 2 \sqrt{b c} 2 \sqrt{c a} 2 \sqrt{a b} \\ = 8 a b c \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('18.')

a, b = symbols('a, b', positive=True)
fs = [a / b + b / a - 2,
      sqrt(a * b) - 2 * a * b / (a + b),
      (a ** 3 + b ** 3) - (a ** 2 * b + a * b ** 2)]

for f in fs:
    pprint(solve(f))
    print()

p = plot3d(*fs, (a, 0.1, 5), (b, 0.1, 5))
p.xlabel = 'a'
p.ylabel = 'b'
p.save('sample18.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample18.py
18.
[{a: b}]

[{a: b}]

[{a: b}]


C:\Users\...>

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2019年2月15日金曜日

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