数学 - Python - 解析学 - 数 - 実数(有理数と無理数の和、無理数であることの証明)

解析入門(上)
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.1(実数)、問題1を取り組んでみる。

1. 
   
   $x+y$

   を有理数と仮定し、

   $\begin{array}{}x+y=\frac{m}{n}\\ \left(m,n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->},n\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\right)\end{array}$

   と簡約した形に表す。

   問題の仮定より、 x は有理数なので、

   $\begin{array}{}x=\frac{a}{b}\\ \left(a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->},b\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\right)\end{array}$

   と簡約した形に表わす。

   このとき、

   $\begin{array}{}\frac{a}{b}+y=\frac{m}{n}\\ y=\frac{m}{n}-\frac{a}{b}\\ =\frac{mb-na}{nb}\\ \left(nb,mb-na\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}\right)\end{array}$

   よって y は有理数となる。

   これは無理数である仮定と矛盾。

   よって、

   $x+y$

   は無理数である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols

print('1.')

x = symbols('x', rational=True)
y = symbols('y', real=True, rational=False)

for t in [x, y, x + y]:
    print(t.is_rational)

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample1.py
1.
True
False
False

C:\Users\...>