数学 - 解析学 - 数 - 順序体(実数、部分集合、有界性、上限性質、下限性質)

解析入門(上)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.3(順序体)、問題2を取り組んでみる。

2. 
   

   イメージ図。

   定理により、 A は下限性質を満たすので下限を持つ。また、一 A は上限性質を満たすので上限を持つ 。

   任意の A の元 x に対して、

   $\begin{array}{}\inf A\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x\\ -x\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-\inf A\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}-x\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sup \left(-A\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-\inf A\\ \sup \left(-A\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-\inf A\\ \inf A\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-\sup \left(-A\right)\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{}-x\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sup \left(-A\right)\\ -\sup \left(-A\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}-\sup \left(-A\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\inf A\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x\\ -\sup \left(-A\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\inf A\end{array}$

   ゆえに、

   $\begin{array}{}\inf A\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-\sup \left(-A\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\inf A\\ \inf A=-\sup \left(-A\right)\end{array}$

   （証明終）