数学 - 解析学 - 数 - 順序体(乗法、定義、公理、命題の証明、可換律、結合律、単位元、逆元、簡約律、一意性)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.3(順序体)、問題1を取り組んでみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}b\\ =1·\; <!--\; middle\; dot\; -->b\\ =\left(a^{-1}a\right)b\\ =a^{-1}\left(ab\right)\\ =a^{-1}\left(ac\right)\\ =\left(a^{-1}a\right)c\\ =1c\\ =c\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}a·\; <!--\; middle\; dot\; -->e=a·\; <!--\; middle\; dot\; -->e\text{'}\\ e=e\text{'}\end{array}$

      よって乗法単位元はただ1つである。

   3. 
      
      $\begin{array}{}a·\; <!--\; middle\; dot\; -->a^{-1}=a·\; <!--\; middle\; dot\; -->b\\ a^{-1}=b\end{array}$

      よって乗法逆元は一意的に定まる。

   4. 
      
      $a^{-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->a=1$

      よって

      ${\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a$
   5. 
      
      $\begin{array}{}b\left(a{b}^{-1}\right)\\ =b\left(b^{-1}a\right)\\ =\left(b{b}^{-1}\right)a\\ =1a\\ =a\end{array}$

      また、

      $\begin{array}{}bx\text{'}=a\\ bx\text{'}=b\left(a{b}^{-1}\right)\\ x\text{'}=a{b}^{-1}\end{array}$

      よって解は一意的である。

      （証明終）