数学 - JavaScript - 線形代数学 - 線形写像(n次元空間、ベクトル、一次独立、直線、同値)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題20の解答を求めてみる。

20. 
    
    $B-A,C-A$

    を1次独立とする。

    3点が1直線上にあると仮定すると、

    $\begin{array}{}t\left(B-A\right)=C-A\\ t\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\end{array}$

    を満たす実数 t が存在する。

    この とき、

    $t\left(B-A\right)-\left(C-A\right)=O$

    これは1次独立であるという仮定と矛盾する。

    よって、 A、 B、 C は1直線上にない。

    逆について。

    異なる3点 A、 B、 C が1直線上にないならば、任意の実数 t に対して

    $t\left(B-A\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\left(C-A\right)$

    が成り立つ。

    このとき、 2つのベクトル

    $B-A,C-A$

    が1次従属と仮定すると、

    $\begin{array}{}t\left(B-A\right)+s\left(C-A\right)=O\\ t\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\vee \; <!--\; logical\; or\; -->s\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\end{array}$

    を満たす実数 t、 s が存在する。

    $t\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,s\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

    の場合。

    $\begin{array}{}\frac{t}{s}\left(B-A\right)=C-A\\ \frac{t}{s}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\end{array}$

    となり矛盾。

    $t\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,s=0$

    の場合、

    $\begin{array}{}t\left(B-A\right)=O\\ B=A\end{array}$

    よって異なる3点という仮定と矛盾。

    $t=0,s\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

    の場合も同様。

    よって、 2つのベクトルは1次独立である。

コード(Emacs)

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="2">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample20.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let fns = [];

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown',
                  'purple', 'brown', 'pink', 'skyblue', 'gray'],
        A = [1, 2],
        B = [3, -2],
        C = [-2, 4],
        lines =  [[...C, ...A],
                  [...C, ...B]].map((line, i) => line.concat(colors[i]));

    console.log(points);
    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =