数学 - JavaScript - 線形代数学 - 線形写像(三角形と凸集合)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題21の解答を求めてみる。

21. 
    
    1. 
       

       D、 E を三角形の任意の2点とする。

       このとき、

       $\begin{array}{}D=t_{1}A+t_{2}B+t_{3}C\\ E=s_{1}A+s_{2}B+s_{3}C\\ t_1+t_2+t_3=1\\ s_2+s_2+s_3=1\\ t_i,s_i\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\left(i=1,2,3\right)\end{array}$

       を満たす実数が存在し、

       $\begin{array}{}0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->u\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\\ uD+\left(1-u\right)E\\ =\left(u{t}_1+\left(1-u\right)s_1\right)A+\\ \left(u{t}_2+\left(1-u\right)s_2\right)B+\\ \left(u{t}_3+\left(1-u\right)s_3\right)C\\ u{t}_i+\left(1-u\right)s_i\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\left(i=1,2,3\right)\\ \underset{i=1}{\overset{3}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(u{t}_i+\left(1-u\right)s_i\right)\\ =u\left(t_1+t_2+t_3\right)+\left(1-u\right)\left(s_1+s_2+s_3\right)\\ =u+\left(1-u\right)\\ =1\end{array}$

       よって、三角形は凸集合である

       （証明終）

    2. 
       
       $t_1=0,t_2=0,t_3=0$

       それでれの場合を考えれは、線分 AB、 BC、 CA は任意の凸集合に含まれる。

       凸集合が三角形を含まないと仮定すると、

       異なる2つの線分上の2点を結ぶ線分が凸集合に含まれないことにない矛盾。

       よって三角形を含む。

       （証明終）

    3. 
       
       $\begin{array}{}F\left(t_{1}A+t_{2}B+t_{3}C\right)\\ =t_{1}F\left(A\right)+t_{2}F\left(B\right)+t_{3}F\left(C\right)\end{array}$

       よって、 A、 B 、 C によって決定される三角形の線形写像 F による像は

       $F\left(A\right),F\left(B\right),F\left(C\right)$

       によって決定される三角形である。

       （証明終）

コード(Emacs)

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="2">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample21.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let fns = [],
    fx = x => -2 * x,
    fy = y => -y

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown',
                  'purple', 'brown', 'pink', 'skyblue', 'gray'],
        A = [1, 2],
        B = [3, -2],
        C = [-2, 4],
        A1 = [fx(A[0]), fy(A[1])],
        B1 = [fx(B[0]), fy(B[1])],
        C1 = [fx(C[0]), fy(C[1])],
        lines =  [[...A, ...B],
                  [...B, ...C],
                  [...C, ...A],
                  [...A1, ...B1],
                  [...B1, ...C1],
                  [...C1, ...A1]].map((line, i) => line.concat(colors[i]));

    console.log(points);
    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =