数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦、累乗(べき乗、平方)、逆数、積、置換積分方、積分、近似値(小数第3位まで))

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(d)の解答を求めてみる。

11. 
    
    4. 
       

       置換積分法。

       $\begin{array}{}t=x^2\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=2x\\ x=0,t=1\\ x=1,t=1\\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin x^2}{x}\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin t}{x}.\frac{1}{2x}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin t}{t}\mathrm{dt}\end{array}$

       テイラー の公式を用いる。

       $\begin{array}{}\frac{d}{\mathrm{dt}}\sin t=\cos t\\ \frac{d^2}{{\mathrm{dt}}^2}\sin t=-\sin t\\ \frac{d^3}{{\mathrm{dt}}^3}\sin t=-\cos t\\ \frac{d^4}{{\mathrm{dt}}^4}\sin t=\sin t\\ \sin t=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+R_7\left(t\right)\\ R_7\left(t\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|t\right|}^7}{7!}\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{}\frac{\sin t}{t}=1-\frac{t^2}{3!}+\frac{t^4}{5!}+\frac{R_7\left(t\right)}{t}\\ \left|\frac{R_7\left(t\right)}{t}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|t\right|}^6}{7!}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin t}{t}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}{\left[t-\frac{t^3}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{t^5}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\right]}_0^1+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_7\left(t\right)}{t}\mathrm{dt}\end{array}$

       かつ

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\frac{R_7\left(t\right)}{7!}\right|\mathrm{dt}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{t^6}{7!}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->7·\; <!--\; middle\; dot\; -->7!}{\left[t^7\right]}_0^1\\ =\frac{1}{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->7·\; <!--\; middle\; dot\; -->7!}\\ <\frac{1}{1000}\end{array}$

       よって、求める積分の小数第3位までの値は、

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}{\left[t-\frac{t^3}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{t^5}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\right]}_0^1\\ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\right)\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!-5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4+3}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{1800-100+3}{3600}\\ =\frac{1703}{3600}\\ =0.4730\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ 0.473\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, Integral, plot, Rational, factorial

print('11-(d).')

x = symbols('x')
f = sin(x ** 2) / x
i = Integral(f, (x, 0, 1))
g = Rational(1, 2) * (x -
                      x ** 3 / (3 * factorial(3)) +
                      x ** 5 / (5 * factorial(5)))

for o in [i, i.doit(), float(i.doit()), g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g, (x, -2, 2), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(d).
1           
⌠           
⎮    ⎛ 2⎞   
⎮ sin⎝x ⎠   
⎮ ─────── dx
⎮    x      
⌡           
0           

Si(1)
─────
  2  

0.4730415351835915

   3    
  x    x
- ── + ─
  36   2


C:\Users\...>