数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(余弦、累乗(べき乗、平方)、置換積分方、積分、近似値(小数第3位まで))

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(e)の解答を求めてみる。

11. 
    
    5. 
       

       置換積分法。

       $\begin{array}{}t=x^2\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=2x\\ x=0,t=0\\ x=1,t=1\\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\cos x^2\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\end{array}$

       テイラーの公式。

       $\begin{array}{}\cos t\\ =1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}+R_6\left(t\right)\\ \left|R_6\left(t\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|t\right|}^6}{6!}\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\\ =t^{\left(-\frac{1}{2}\right)}-\frac{1}{2!}{t}^{\left(\frac{3}{2}\right)}+\frac{1}{4!}{t}^{\left(\frac{7}{2}\right)}+\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\\ \left|\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|t\right|}^{\left(\frac{11}{2}\right)}}{6!}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\cos x^2\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}{\left[2t^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->2!}{t}^{\left(\frac{5}{2}\right)}+\frac{2}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}{t}^{\frac{9}{2}}\right]}_0^1+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{dt}\end{array}$

       かつ

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1\left|\frac{R_6\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{t^{\left(\frac{11}{2}\right)}}{6!}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}{\left[\frac{2}{13·\; <!--\; middle\; dot\; -->6!}{t}^{\left(\frac{13}{2}\right)}\right]}_0^1\\ =\frac{1}{13·\; <!--\; middle\; dot\; -->6!}\end{array}$

       よって、求める積分の小数第3位までの値は、

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}{\left[2t^{\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{2}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->2!}{t}^{\left(\frac{5}{2}\right)}+\frac{2}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}{t}^{\left(\frac{9}{2}\right)}\right]}_0^1\\ =1-\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->2!}+\frac{1}{9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}\\ =\frac{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!-9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->3+5}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->9·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}\\ =\frac{1080-108+5}{1080}\\ =\frac{977}{1080}\\ =0.904...\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, cos, Integral, plot, factorial

print('11-(e).')

x = symbols('x')
f = cos(x ** 2)
i = Integral(f, (x, 0, 1))
g = 1 - x ** 2 / factorial(2) + x ** 4 / factorial(4)

for o in [i, i.doit(), float(i.doit()), g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g, (x, -2, 2), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(d).
1           
⌠           
⎮    ⎛ 2⎞   
⎮ sin⎝x ⎠   
⎮ ─────── dx
⎮    x      
⌡           
0           

Si(1)
─────
  2  

0.4730415351835915

   3    
  x    x
- ── + ─
  36   2


C:\Users\...>