数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦と余弦、近似値(小数第3位まで))

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   

   テイラー展開は手動で、小数第３位までの計算はPythonに任せることに。

   1. 
      
      $\begin{array}{}\sin 31^{\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->}\\ =\sin \left(\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\right)\\ \fallingdotseq \; <!--\; approximately\; equal\; to\; or\; the\; image\; of\; -->\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+\left(\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\right)\left(\left(\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\right)-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\right)\\ =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}\cos 31^{\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->}\\ =\cos \left(\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\right)\\ \fallingdotseq \; <!--\; approximately\; equal\; to\; or\; the\; image\; of\; -->\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}-\left(\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\right)\left(\left(\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\right)-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\right)\\ =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{}\sin 47^{\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->}\\ =\sin \left(\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}+\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\right)\\ \fallingdotseq \; <!--\; approximately\; equal\; to\; or\; the\; image\; of\; -->\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}+\left(\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}\right)\left(\left(\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}+\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\right)-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{90}\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{}\cos 47^0\\ \fallingdotseq \; <!--\; approximately\; equal\; to\; or\; the\; image\; of\; -->\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}-\left(\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}\right)\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{90}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{90}\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{}\sin 32^{\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->}\\ =\sin \left(\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{180}\right)\\ \fallingdotseq \; <!--\; approximately\; equal\; to\; or\; the\; image\; of\; -->\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+\left(\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\right)\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{90}\\ =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{90}\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{}\cos 32^{\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->}\\ \fallingdotseq \; <!--\; approximately\; equal\; to\; or\; the\; image\; of\; -->\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}-\left(\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\right)\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{90}\\ =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{90}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Rational, sqrt, pi

print('8.')

l = [Rational(1, 2) + sqrt(3) / 2 * pi / 180,
     sqrt(3) - pi / (2 * 180),
     1 / sqrt(2) + 1 / sqrt(2) * pi / 90,
     1 / sqrt(2) - 1 / sqrt(2) * pi / 90,
     Rational(1, 2) + sqrt(3) / 2 * pi / 90,
     sqrt(3) / 2 - pi / (2 * 90)]

for i, o in enumerate(l):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for s in [o, float(o), round(float(o), 3)]:
        pprint(s)
        print()
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample8.py
8.
(a)
√3⋅π   1
──── + ─
360    2

0.5151149947019518

0.515


(b)
   π      
- ─── + √3
  360     

1.7233241613089056

1.723


(c)
√2⋅π   √2
──── + ──
180    2 

0.7317894641763162

0.732


(d)
  √2⋅π   √2
- ──── + ──
  180    2 

0.6824240981967788

0.682


(e)
√3⋅π   1
──── + ─
180    2

0.5302299894039036

0.53


(f)
   π    √3
- ─── + ──
  180   2 

0.8485721112644954

0.849



C:\Users\...>