数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦、累乗(べき乗、平方)、置換積分方、積分、近似値(小数第3位まで))

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(c)の解答を求めてみる。

11. 
    
    3. 
       

       置換積分法。

       $\begin{array}{}t=x^2\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=2x\\ x=0,t=0\\ x=1,t=1\\ x=\sqrt{t}\\ {\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1\sin x^2\mathrm{dy}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\end{array}$

       テイラー の公式。

       $\begin{array}{}\sin t\\ =t-\frac{t^3}{3!}+R_5\left(t\right)\\ \left|R_5\left(t\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|t\right|}^5}{5!}\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\\ =t^{\frac{1}{2}}-\frac{t^{\left(\frac{5}{2}\right)}}{3!}+\frac{R_5\left(t\right)}{\sqrt{t}}\\ \left|\frac{R_5\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|t\right|}^{\left(\frac{9}{2}\right)}}{5!}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ ={\left[\frac{1}{3}{t}^{\left(\frac{3}{2}\right)}-\frac{1}{7}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{3!}{t}^{\left(\frac{7}{2}\right)}\right]}_0^1+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_5\left(t\right)}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\end{array}$

       かつ

       $\begin{array}{}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\frac{R_5\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\mathrm{dt}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{5!}{t}^{\left(\frac{9}{2}\right)}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}{\left[\frac{2}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}{t}^{\frac{15}{2}}\right]}_0^1\\ =\frac{1}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ <\frac{1}{1000}\end{array}$

       よって、 求める積分の小数第3位までの値は、

       $\begin{array}{}\frac{1}{3}-\frac{1}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{1}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{1}{3}-\frac{1}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{1}{11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!-3·\; <!--\; middle\; dot\; -->11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4+21}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->7·\; <!--\; middle\; dot\; -->11·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{9240-660+21}{27720}\\ =\frac{8601}{27720}\\ =0.310...\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, Integral, plot, Rational, factorial

print('11-(c).')

x = symbols('x')
f = sin(x ** 2)
i = Integral(f, (x, 0, 1))
g = Rational(1, 3) * x ** Rational(3, 2) - Rational(1, 7) * \
    1 / factorial(3) * x ** Rational(7, 2)

for o in [i, i.doit(), float(i.doit()), g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g, (x, -2, 2), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(c).
1           
⌠           
⎮    ⎛ 2⎞   
⎮ sin⎝x ⎠ dx
⌡           
0           

                ⎛√2⎞       
3⋅√2⋅√π⋅fresnels⎜──⎟⋅Γ(3/4)
                ⎝√π⎠       
───────────────────────────
          8⋅Γ(7/4)         

0.3102683017233811

   7/2    3/2
  x      x   
- ──── + ────
   42     3  


C:\Users\...>