数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像(線分、凸集合とその像)

ラング線形代数学(上)
原著
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題14の解答を求めてみる。

14. 
    

    p、 q を 線形写像 L による 凸 集合の像の任意の2点する。

    このとき、ある P、 Q が存在して、

    $\begin{array}{}L\left(P\right)=p\\ L\left(Q\right)=q\end{array}$

    p と q を結ぶ線分は、

    $\begin{array}{}tp+\left(1-t\right)q\\ \left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->t\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\right)\end{array}$

    ここで

    $\begin{array}{}tp+\left(1-t\right)q\\ =tL\left(P\right)+\left(1-t\right)L\left(Q\right)\end{array}$

    よって、 p と q を結ぶ線分は、 L による凸集合の像に含まれる。

    ゆえに、線形写像 L になる凸集合の像は凸集合である。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, cos, sin, pi, Rational
from sympy.plotting import plot_parametric

print('14.')
print('2次元、楕円と線形写像による楕円の像')

theta = symbols('θ')

x = 2 * cos(theta) + 1
y = sin(theta)
p = plot_parametric((x, y, (theta, 0, 2 * pi)),
                    (2 * x - 3, Rational(1, 2) * y - 1, (theta, 0, 2 * pi)),
                    show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample14.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample14.py
14.
2次元、楕円と線形写像による楕円の像

C:\Users\...>