数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(ベクトル空間、次元、大小、単射)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   線形写像 G が単射だと仮定する。

   $w_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,w_n$

   を W の基底とする。

   $x_{1}G\left(w_n\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}G\left(w_n\right)=O$

   とする。

   このとき

   $\begin{array}{l}G\left(x_1{w}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{w}_n\right)=O\\ x_1{w}_n+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{w}_n=O\end{array}$

   よって、

   $x_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=x_n=0$

   となり、また、

   $G\left(w_i\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->G\left(w_j\right)\left(i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->j\right)$

   なので、

   $G\left(w_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,G\left(w_n\right)$

   は1次独立である。

   これは、

   $\dim V<\dim W$

   という仮定と矛盾。

   ゆえに、線形写像 G は単射ではありえない。

   （証明終）