数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(ベクトル空間、定義域、値域、次元の大小、全射ではない場合)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\dim V=n$

   とし、

   $v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_n$

   を V の基底とする。

   f を全射と仮定する。
   W の任意の元 w に対して

   $\begin{array}{l}f\left(v\right)=w\\ v=x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n\end{array}$

   と満たす V の元 v が存在する。

   このとき、

   $\begin{array}{l}f\left(v\right)=w\\ x_{1}f\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}f\left(v_n\right)=w\end{array}$

   よって、 W は

   $f\left(v_n\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,f\left(v_n\right)$

   によって生成される。

   ゆえに

   $\dim W\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n$

   これは

   $\dim V<\dim W$

   と矛盾。

   以上より、 f は全射ではありえない。

   （証明終）