数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列の収束条件(部分列、有界、単調増加、単調減少、収束、極限、偶数、奇数)

解析入門(上)
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}{a}_{n+2}-a_n\\ =\frac{a_{n+1}+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_{n+1}+1}-a_n\\ =\frac{\frac{a_n+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_n+1}+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\frac{a_n+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_n+1}+1}-a_n\\ =\frac{a_n+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\left(a_n+1\right)}{2a_n+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+1}-a_n\\ =\frac{-2a_n^2+2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{2a_n+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+1}\\ =\frac{2\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-a_n^2\right)}{2a_n+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+1}\\ a_{n+1}-\sqrt{a}\\ =\frac{a_n+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_n+1}-\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\\ =\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\left(a_n+1\right)\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}+a_n}{a_n+1}\\ =\frac{\left(\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}-a_n\right)\left(\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}-1\right)}{a_n+1}\\ \sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}-a_1>0\\ a_2-\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}>0\\ a_4-a_2<0\\ a_3-\sqrt{a}<0\\ a_5-a_3>0\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{l}{a}_1<a_3<\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; --><a_{2n+1}<\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ a_2>a_4>\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->>a_{2n}>\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\end{array}$

      ゆえに奇数の部分列は単調増加、偶数番目は単調減少である。

      （証明終）

   2. 
      
      $\begin{array}{l}{a}_{2n}=\frac{a_{2n-1}+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_{2n-1}+1}>\frac{a_{2n-1}+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_{2n-1}+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}=1\\ a_{2n+1}=\frac{a_{2n}+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_{2n}+1}<\frac{a_{2n}+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_{2n}}=1+\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_{2n}}<1+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\end{array}$

      よって奇数の場合は上に有界な単調増加列、偶数の場合は下に有界な単調減少がなので、どちらの部分列も収束する。
      その極限の値をそれぞれ a、bとすると、

      $\begin{array}{l}a=\frac{b+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{b+1}\\ b=\frac{a+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a+1}\\ a+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=b+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ a=b\end{array}$

      よって数列は極限をもち、その値は、

      $\begin{array}{l}b=\frac{b+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{b+1}\\ b^2+b=b+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ b^2=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ b=\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\end{array}$

      である。

      （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
import math

print('4.')

alpha = 10


def a(n):
    if n == 1:
        return math.sqrt(alpha) / 2
    return (a(n - 1) + alpha) / (a(n - 1) + 1)


n = 10
for n in range(1, n + 1):
    print(f'n = {n}: {a(n)}')

plt.plot(range(1, n + 1), [a(i) for i in range(1, n + 1)],
         range(1, n + 1, 2), [a(i) for i in range(1, n + 1, 2)],
         range(2, n + 1, 2), [a(i) for i in range(2, n + 1, 2)],
         range(1, n + 1), [math.sqrt(alpha) for _ in range(1, n + 1)],
         marker='o')

plt.legend(['a', 'odd', 'even', f'sqrt({alpha})'])
# plt.show()
plt.savefig('sample4.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
n = 1: 1.5811388300841898
n = 2: 4.486832980505137
n = 3: 2.6402904976290036
n = 4: 3.472330163172935
n = 5: 3.012373789866817
n = 6: 3.243061207988485
n = 7: 3.1211101039635123
n = 8: 3.1838775895223415
n = 9: 3.1511145599810675
n = 10: 3.168092417097987

C:\Users\...>