数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列の収束条件(漸化式、単調減少、下に有界)

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}{a}_{n+1}\\ =\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_n}\right)\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a_n·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_n}}\\ =\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\\ a_1>\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}>1\end{array}$

      （相加平均、相乗平均より）

      よって、数列は下に有界である。

      また、

      $\begin{array}{l}{a}_{n+1}-a_n\\ =\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_n}\right)-a_n\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_n}-a_n\right)\\ <\frac{1}{2}\left(\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^2}{a_n}-a_n\right)\\ <\frac{1}{2}\left(\frac{a_n^2}{a_n}-a_n\right)\\ =\frac{1}{2}\left(a_n-a_n\right)\\ =0\end{array}$

      よって、 数列は単調減少である。

      ゆえに収束する。

      その極限を b とすると、

      $\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\left(b+\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{b}\right)\\ 2b^2=b^2+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ b^2=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ b=\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\end{array}$

      （証明終）

   2. 
      
      $\begin{array}{l}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_{n+1}\\ =a_{n+1}-\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\\ =\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{a_n}\right)-\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\\ =\frac{a_n^2+a-2\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{2a_n}\\ =\frac{{\left(a_n-\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right)}^2}{2a_n}\\ =\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n^2}{2a_n}\\ <\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n^2}{2\sqrt{a}}\\ =\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n^2}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ \frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_{n+1}}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}<\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n^2}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}^2}={\left(\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}^2<{\left({\left(\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_{n-1}}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}^2\right)}^2<\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; --><{\left(\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_1}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}^{\left(2^n\right)}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
import math

print('3.')

alpha = 10
beta = 2 * math.sqrt(alpha)


def a(n):
    if n == 1:
        return math.sqrt(alpha) + 5
    return (a(n - 1) + alpha / (a(n - 1))) / 2


def c(n):
    return math.sqrt(alpha)


def e(n):
    return a(n) - math.sqrt(alpha)


def l(n):
    return e(n + 1) / beta


def r(n):
    return (e(1) / beta) ** (2 ** n)


n = 5

funcs = [a, c, l, r]


for func in [a, c, l, r]:
    plt.plot(range(1, n + 1), [func(i) for i in range(1, n + 1)], marker='o')
    print(func.__name__)
    for n in range(1, n + 1):
        print(func(n))


plt.legend([func.__name__ for func in funcs])
# plt.show()
plt.savefig('sample3.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
a
8.16227766016838
4.693712943361397
3.4121112199651673
3.1714240219920384
3.1622908491859985
c
3.1622776601683795
3.1622776601683795
3.1622776601683795
3.1622776601683795
3.1622776601683795
l
0.24214117920174566
0.03950215424528614
0.0014461667833386746
2.0853667887956127e-06
4.348728984187216e-12
r
0.6249999999999999
0.3906249999999999
0.1525878906249999
0.02328306436538693
0.0005421010862427508

C:\Users\...>