数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列の収束条件(漸化式、単調増加、上に有界)

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題2を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} a_{2}^{2} - 9 \\ = 6 + 1 - 9 \\ < 0 \\ a_{2} < 3 \\ {(a_{n + 1})}^{2} - 9 \\ = 6 + a_{n} - 9 \\ = a_{n} - 3 \\ < 0 \\ {(a_{n + 1})}^{2} < 9 \\ a_{n + 1} < 3 \end{array}$

よって帰納法により、

$a_{n} < 3 (n \in ℕ)$

ゆえに数列は上に有界。

また、

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{\sqrt{6 + a_{n}}}{a_{n}} \\ = \sqrt{\frac{6}{a_{n}} + 1} \\ > 1 \end{array}$

なので、数列は単調増加である。

よって、数列は収束する。

極限を a ておくと、

$\begin{array}{l} a = \sqrt{6 + a} \\ a^{2} = 6 + a \\ a^{2} - a - 6 = 0 \\ (a - 3) (a + 2) = 0 \end{array}$

よって、極限は3である。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
import math

print('2.')


def a(n):
    if n == 1:
        return 1
    return math.sqrt(6 + a(n - 1))


n = 10

for i in range(1, 11):
    print(a(i))

plt.plot(range(1, n + 1), [a(i) for i in range(1, n + 1)], marker='o')
plt.plot(range(1, n + 1), [3 for _ in range(1, n + 1)], marker='o')

plt.legend(['a', 3])
# plt.show()
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
1
2.6457513110645907
2.9403658464661486
2.990044455600309
2.998340283490236
2.9997233678274795
2.9999538942836237
2.999992315704096
2.9999987192837425
2.9999997865472827

C:\Users\...>

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2019年4月24日水曜日

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