数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列の収束条件(部分列極限、上極限、下極限)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{liminf}}{a}_n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

   とおく。
   このとき、

   $\left(a_n\right)$

   のある部分列

   $\begin{array}{l}\left(b_n\right)\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ -\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n=-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-b_n\right)=-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\end{array}$

   が存在して、

   $\left(a_n\right)$

   の任意の部分列

   $\left(c_n\right)$

   に対して、

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{c}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n\\ -\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{c}_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-c_n\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-b_n\right)\end{array}$

   ここで、

   $\left(-c_n\right),\left(-b_n\right)$

   は

   $\left(-a_n\right)$

   の部分列なので、

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\sup \left(-a_n\right)\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-b_n\right)\\ =-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ =-\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{liminf}}{a}_n\end{array}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
import math

print('5.')


def a(n):
    return (-1) ** n * n


n = 10

for n in range(1, n + 1):
    print(f'n = {n}: {a(n)}')

plt.plot(range(1, n + 1), [a(i) for i in range(1, n + 1)],
         range(1, n + 1), [-a(i) for i in range(1, n + 1)],
         marker='o')

plt.legend(['an', '-an'])
# plt.show()
plt.savefig('sample5.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
n = 1: -1
n = 2: 2
n = 3: -3
n = 4: 4
n = 5: -5
n = 6: 6
n = 7: -7
n = 8: 8
n = 9: -9
n = 10: 10

C:\Users\...>