学習環境
- Surface、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題5の解答を求めてみる。
(G∘F)(u+v)=G(F(u+v))=G(F(u)+F(v))=G(F(u))+G(F(v))=(G∘F)(u)+(G∘F)(v)(G∘F)(cv)=G(F(cv))=G(cF(v))=cG(F(v))=c(G∘F)(v)よって、 線形写像の合成写像は線形写像である。
(G∘F)(u)=(G∘F)(v)とする。
このとき
G(F(u))=G(F(v))G は同形写像、すなわち単射なので、
F(u)=F(v)F も同様で、
u=vよって合成写像は単射である。
また、 U の任意の元 u に対して、 G は月形写像、すなわち全射なので、ある W の元 w が存在して
G(w)=uにも同様で、
F(v)=wよって、
G(F(v))=u(G∘F)(v)=uゆえに合成写像は全射である。
したがって合成写像は全単射である
以上より、合成写像も同形写像である。
(証明終)
コード
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, plot print('5.') x = symbols('x') f = 2 * x g = -3 * x gf = g.subs({x: g}) p = plot(f, g, gf, ylim=(-10, 10), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample5.png')
入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))
C:\Users\...>py sample5.py 5. C:\Users\...>
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