数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(ベクトル空間、直和、射影)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題14の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} P_{1} (v_{1} + v_{2}) \\ = P_{1} ((u_{1} + w_{1}) + (u_{2} + w_{2})) \\ = P_{1} ((u_{1} + u_{2}) + (w_{1} + w_{2})) \\ = u_{1} + u_{2} \\ = P_{1} (v_{1}) + P_{1} (v_{2}) \\ P_{1} (c v) \\ = P_{1} (c (u + w)) \\ = P_{1} (c u + c w) \\ = c u \\ = c P_{1} (v) \end{array}$

また、

$\begin{array}{l} P_{2} (v_{1} + v_{2}) \\ = P_{2} ((u_{1} + w_{1}) + (u_{2} + w_{2})) \\ = P_{2} ((u_{1} + u_{2}) + (w_{1} + w_{2})) \\ = w_{1} + w_{2} \\ = P_{2} (v_{1}) + P_{2} (v_{2}) \\ P_{2} (c v) \\ = P_{2} (c (u + w)) \\ = P_{2} (c u + c w) \\ = c w \\ = c P_{2} (v) \end{array}$

よって、両方共線形写像である。

また、

$\begin{array}{l} (P_{1} + P_{2}) (v) \\ = P_{1} (v) + P_{2} (v) \\ = u + w \\ = v \end{array}$

よって恒等写像である。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols
from sympy.plotting import plot3d

print('14.')

u, w = symbols('u, w')
p1 = u
p2 = w
p12 = u + w

p = plot3d(p1, p2, p12, show=False)

p.xlabel = u
p.ylabel = w

p.show()
p.save('sample14.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample14.py
14.

C:\Users\...>

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2019年4月18日木曜日

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