数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(ベクトル空間、単射線形写像)

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(v+w\right)\\ =\left(v+w,v+w\right)\\ =\left(v,v\right)+\left(w,w\right)\\ =f\left(v\right)+f\left(w\right)\\ f\left(cv\right)\\ =\left(cv,cv\right)\\ =c\left(v,v\right)\\ =cf\left(v\right)\end{array}$

    よって線形写像である。

    $\begin{array}{l}f\left(v\right)=f\left(w\right)\\ \left(v,v\right)=\left(w,w\right)\\ v=w\end{array}$

    よって単射である。

    ゆえに、単射線形写像である。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line
print('11.')

x = symbols('x')
f = x ** 3
p = plot3d_parametric_line(x, x, x, show=False)

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.

C:\Users\...>