数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成(ベクトル空間、二つの自身の中への線形写像、いくつかの条件、像、直和)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   問題1 と (c)より、 V は

   $P_1$

   の像と核の直和である。

   $V=P_1\left(V\right)\oplus \; <!--\; circled\; plus\; -->\ker P_1$

   また、 (b)より

   $\begin{array}{l}{P}_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->P_2\left(V\right)=O\\ P_1\left(P_2\left(V\right)\right)=O\end{array}$

   なので、

   $P_2\left(V\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->\ker P_1$

   また、 任意の

   $\begin{array}{l}v\in \; <!--\; element\; of\; -->\ker P_1\\ P_1\left(v\right)=O\end{array}$

   について、（1）より

   $\begin{array}{l}\left(P_1+P_2\right)\left(v\right)=v\\ P_1\left(v\right)+P_2\left(v\right)=v\\ O+P_2\left(v\right)=av\\ P_2\left(v\right)=v\\ v\in \; <!--\; element\; of\; -->P_2\left(V\right)\end{array}$

   よって、

   $\ker P_1\subset \; <!--\; subset\; of\; -->P_2\left(V\right)$

   ゆえに、

   $\ker P_1=P_2\left(V\right)$

   以上より、

   $V=P_1\left(V\right)\oplus \; <!--\; circled\; plus\; -->P_2\left(V\right)$

   となるので、 V は2つの線形写像のそれぞれの像の直和である。

   （証明終）