学習環境
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- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(関数の極限と連続性)、3.1(関数の極限)、問題5の解答を求めてみる。
にも題の関数 f が
x→∞のとき収束し、その極限を a とする。
このとき、 任長の
ε>0に付し、ある M が存在し、
x>M⇒|f(x)-a|<ε2x'>M⇒|f(x')-a|<ε2が成り立つ。
よって、
x>M,x'>Mならば
|f(x)-f(x')|=|(f(x)-a)+(a-f(x'))|≤|f(x)-a|+|a-f(x')|=|f(x)-a|+|f(x')-a|<ε2+ε2=εよって、必要条件である。
逆について。
an≥alimn→∞an=+∞となる数列を考える。
ある自然数 N が存在して、
n≥N⇒an>Mが成り立つ。
よって、
n≥N,m≥Nならば、
an≥M,an≥Mゆえに、
|f(an)-f(am)|<εすなわち、
はコーシー列である。
ゆえに、有限の極限
が存在する。
したがって、定理4(b)より、
が成り立つ。
ゆえに、十分条件である。
以上が、 必要分条件である。
(証明終)
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