数学 - 解析学 - 関数の極限と連続性 - 関数の極限(関数の収束に関するコーシーの条件、無限大、任意の数列)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(関数の極限と連続性)、3.1(関数の極限)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   にも題の関数 f が

   $x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

   のとき収束し、その極限を a とする。

   このとき、 任長の

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

   に付し、ある M が存在し、

   $\begin{array}{l}x>M\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|f\left(x\right)-a\right|<\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\\ x\text{'}>M\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|f\left(x\text{'}\right)-a\right|<\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\end{array}$

   が成り立つ。

   よって、

   $x>M,x\text{'}>M$

   ならば

   $\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)-f\left(x\text{'}\right)\right|\\ =\left|\left(f\left(x\right)-a\right)+\left(a-f\left(x\text{'}\right)\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|f\left(x\right)-a\right|+\left|a-f\left(x\text{'}\right)\right|\\ =\left|f\left(x\right)-a\right|+\left|f\left(x\text{'}\right)-a\right|\\ <\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}+\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\\ =\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\end{array}$

   よって、必要条件である。

   逆について。

   $\begin{array}{l}{a}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=+\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

   となる数列を考える。

   ある自然数 N が存在して、

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->a_n>M$

   が成り立つ。

   よって、

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N,m\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

   ならば、

   $a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->M,a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->M$

   ゆえに、

   $\left|f\left(a_n\right)-f\left(a_m\right)\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   すなわち、

   $\left(f\left(a_n\right)\right)$

   はコーシー列である。

   ゆえに、有限の極限

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(a_n\right)=a$

   が存在する。

   したがって、定理4(b)より、

   $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(x\right)=a$

   が成り立つ。

   ゆえに、十分条件である。

   以上が、 必要分条件である。

   （証明終）