数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 級数(等比級数、正項級数、比較定理、収束、発散)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   問題の仮定より、問題の級数は正項級数である。

   
   rが1未満のとき。

   $0<r<b<1$

   となる b が存在する。

   また、ある N が存在し、 n が N 以上ならば、

   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b\\ a_{n+1}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n}b\end{array}$

   が成り立つ。

   よって、

   $\begin{array}{l}n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\\ a_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n-1}b\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n-2}{b}^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a_N{b}^{n-N}\end{array}$

   が成り立つ。ここで、 等比数列の級数

   $\underset{p=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}^{n-N}$

   は収束するので、比較定理より

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_n$

   
   は収束する。

   r が1より大きいとき。

   $1<b<r$

   を満たす b が存在し、 ある N が存在し、N 以上のn に対して、

   $\begin{array}{l}n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b\\ a_{n+1}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n}b\\ a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n-1}b\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n-2}{b}^2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_N{b}^{n-N}\end{array}$

   等比級数

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}^{n-N}$

   は発散するので、比較定理より、

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_n$

   は発散する。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt

print('2.')


def a(n):
    if n == 1:
        return 1
    return a(n - 1) / 1.1


def b(n):
    if n == 1:
        return 1
    return 1.1 * b(n - 1)


def s(n, a):
    return sum([a(i) for i in range(1, n + 1)])


plt.plot([n for n in range(1, 21)],
         [s(n, a) for n in range(1, 21)],
         [n for n in range(1, 21)],
         [s(n, b) for n in range(1, 21)],
         marker='o')
# plt.show()
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.

C:\Users\...>