学習環境
- Surface、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題1の解答を求めてみる。
問題の級数
1+13+15+17+19+111+…+127+…を
1+13+19+19+19+127+…+127+…と 比較すると、 対応する頃は前者の方が後者に等しかまたはそれより大きく、 かつ後者の級数は
1+13+13+13+…であるから発散する。
よって比較定定理より、問題の級数は発散する。
- 1n(n+1)=1n2+n≤1n2
また、 級数
∑∞n=11n2に収束するので、 比較定理より、問題の級数は収束する。
- 1√n(n+1)=1√n2+n≥1√n2+n2=1√2·1n
また、級数
∑∞n=11nは発散する。
よって、収較定理より、問題の級数は発散する。
コード
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, sqrt, summation, oo import matplotlib.pyplot as plt print('1.') n = symbols('n', integer=True) ans = [1 / (2 * n - 1), 1 / (n * (n + 1)), 1 / sqrt(n * (n + 1))] for i, an in enumerate(ans, 1): print(f'({i})') for o in [an, summation(an, (n, 1, oo))]: pprint(o) print() memo = [0] def s(n): t = memo[n - 1] + 1 / sqrt(n * (n + 1)) memo.append(t) return t plt.plot([n0 for n0 in range(1, 21)], [s(n0) for n0 in range(1, 21)], marker='o') # plt.show() plt.savefig('sample1.png')
入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))
C:\Users\...>py sample1.py 1. (1) 1 ─────── 2⋅n - 1 ∞ (2) 1 ───────── n⋅(n + 1) 1 (3) 1 ───────────── ___________ ╲╱ n⋅(n + 1) ∞ ____ ╲ ╲ 1 ╲ ───────────── ╱ ___________ ╱ ╲╱ n⋅(n + 1) ╱ ‾‾‾‾ n = 1 C:\Users\...>
SymPyで無限級数の収束、発散の判定がうまくできない場合があるみたい。平方根(累乗根)があるとうまく判定できないのかも。
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