数学 - Python - 解析学 - 数列と級数 - 級数(正項級数、比較定理、無限級数の収束と発散)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   1. 
      
      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{a_n}{1+a_n}=0$

      のとき、

      $\begin{array}{l}\frac{a_n}{1+a_n}\\ =\frac{a_n+1-1}{a_n+1}\\ =1-\frac{1}{a_n+1}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=0\end{array}$

      よって、 ある N が存在し、 n が N 以上のとき、

      $\begin{array}{l}0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}\\ \frac{a_n}{1+a_n}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{a_n}{1+\frac{1}{2}}\\ =\frac{2}{3}{a}_n\end{array}$

      ここで問題の作定より

      $\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->a_n$

      は正項級数で発散するので、 比較定理より

      $\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\frac{a_n}{1+a_n}$

      は発散する。

      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{a_n}{1+a_n}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

      のとき、 発散する。

   2. 
      
      $a_n=1$

      のとき、

      $\begin{array}{l}\frac{1}{1+n}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{n}\end{array}$

      よって、比較定理より、 発散する。

      $\begin{array}{l}k=0,1,2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ n=2^k\\ a_n=1\\ n\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->2^k\\ a_n=0\end{array}$

      と定めると、

      $\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->a_n$

      は正項級数で発散する。

      また、 等比級数について考えると、

      $\begin{array}{l}\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\frac{a_n}{1+a_n}\\ =\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\frac{1}{2^k}\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}\\ =1\end{array}$

      となるので収束する。

      よって収束する場合もあれば、発散する場合もあるという結論が得られる。

   3. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{a_n}{1+n^2{a}_n}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{a_n}{n^2{a}_n}\\ =\frac{1}{n^2}\end{array}$

      ここで、

      $\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\frac{1}{n^2}$

      に収束するので、比較定理より、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt

print('6.')

n = symbols('n')


ans = [1 + 0 * n, 1 / 2 + 0 * n, 1 / (1 + n), 1 / (1 + 2 ** n), 1 / n ** 2]
for an in ans:
    s = summation(an, (n, 1, oo))
    for a, o in zip(['一般項', '無限級数'], [an, s]):
        print(a)
        pprint(o)
        print()


def s(k, an):
    return sum([an.subs({n: i}) for i in range(1, k + 1)])


ns = range(1, 11)
xs = [k for k in ns]
xys = []
for ys in [[s(k, an) for k in ns] for an in ans]:
    xys.append(xs)
    xys.append(ys)
plt.plot(*xys, marker='o')
plt.xticks(ns)
plt.legend([chr(ord('a') + i) for i, _ in enumerate(ans)])
# plt.show()
plt.savefig('sample6.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
6.
一般項
1

無限級数
∞

一般項
0.500000000000000

無限級数
inf

一般項
  1  
─────
n + 1

無限級数
∞

一般項
  1   
──────
 n    
2  + 1

無限級数
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲     1   
   ╲  ──────
   ╱   n    
  ╱   2  + 1
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

一般項
1 
──
 2
n 

無限級数
 2
π 
──
6 

C:\Users\...>