数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 2項展開(累乗根(平方根)、展開式の剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、7(2項展開)の練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\left|R_3\right|=\frac{\left|s\left(s-1\right)\left(s-2\right)\right|}{3!}{\left(1+c\right)}^{s-3}{\left|x\right|}^3\\ \left|R_3\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{3!}{\left|0.2\right|}^3\\ =\frac{1}{2^4}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^3·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-3}\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-3}\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\left|R_3\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2^4}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2{\left(-0.2\right)}^3\\ =\frac{1}{2^4}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^3·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-3}\\ =10^{-3}\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\left|R_3\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2^4}{\left|0.1\right|}^3\\ =\frac{1}{2^4}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-3}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, plot, Rational, factorial

print('6.')

x = symbols('x')
f = sqrt(1 + x)
g = 1 + Rational(1, 2) * x + \
    Rational(1, 2) * (Rational(1, 2) - 1) / factorial(2) * x ** 2
xs = [0.2, -0.2, 0.1]
rs = [Rational(1, 2) * 10 ** -3, 10 ** -3,
      Rational(1, 2 ** 4) * 10 ** -3]

for i, (x0, r) in enumerate(zip(xs, rs)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    print(abs((f - g).subs({x: x0})) <= r)

p = plot(f, g, (x, -0.5, 0.5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
(a)
True
(b)
True
(c)
True

C:\Users\...>