数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(正弦、余弦)、指数関数、積、微分

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\left(\sin x\right)e^x\right)\\ =\left(\cos x\right)e^x+\left(\sin x\right)e^x\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\left(\left(\sin x\right)e^x\right)\\ =\left(-\sin x\right)e^x+\left(\cos x\right)e^x+\left(\cos x\right)e^x+\left(\sin x\right)e^x\\ =2\left(\cos x\right)e^x\\ \frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}\left(\left(\sin x\right)e^x\right)\\ =2\left(\left(-\sin x\right)e^x+\left(\cos x\right)e^x\right)\end{array}$

   よって、求める問題の関数に付する3次のテイラー多項式は、

   $\begin{array}{l}x+\frac{2}{2!}{x}^2+\frac{2}{3!}{x}^3\\ =x+x^2+\frac{1}{3}{x}^3\end{array}$

   他の求め方。

   $\begin{array}{l}\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \left(x-\frac{1}{6}{x}^3\right)\left(1+x+\frac{1}{2}{x}^2\right)\\ =x+x^2+\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)x^3+O\left(x^4\right)\\ =x+x^2+\frac{1}{3}{x}^3+O\left(x^4\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, sin, exp

print('9.')

x = symbols('x')

f = sin(x) * exp(x)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(sin(x), exp(x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample9.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.
 3         
x     2    
── + x  + x
3          

C:\Users\...>