数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(正弦)、累乗(べき乗、平方)、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{1}{1+\sin x}\\ =\frac{-\cos x}{{\left(1+\sin x\right)}^2}\\ \frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\frac{1}{1+\sin x}\\ =\frac{\left(\sin x\right){\left(1+\sin x\right)}^2+\left(\cos x\right)2\left(1+\sin x\right)\left(\cos x\right)}{{\left(1+\sin x\right)}^4}\\ =\frac{\left(\sin x\right){\left(1+\sin x\right)}^2+2\left({\cos }^{2}x\right)\left(1+\sin x\right)}{{\left(1+\sin x\right)}^4}\\ \frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}\frac{1}{1+\sin x}\\ =\frac{\left(\cos x\right){\left(1+\sin x\right)}^2+\left(\sin x\right)2\left(\cos x\right)}{{\left(1+\sin x\right)}^8}{\left(1+\sin x\right)}^4\\ +\frac{2\left(2\left(\cos x\right)\left(-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)+{\cos }^{3}x\right)}{{\left(1+\sin x\right)}^8}{\left(1+\sin x\right)}^4\\ -\frac{\left(\left(\sin x\right){\left(1+\sin x\right)}^2+2\left({\cos }^{2}x\right)\left(1+\sin x\right)\right)4{\left(1+\sin x\right)}^3\cos x}{{\left(1+\sin x\right)}^8}\end{array}$

   よって、 求める問題の関数に対する3次のテイラー多項式は、

   $\begin{array}{l}1-x+x^2+\frac{1}{3!}\left(1+2-8\right)x^3\\ =1-x+x^2-\frac{5}{6}{x}^3\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, sin

print('2.')

x = symbols('x')

f = 1 / (1 + sin(x) ** 2)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
     2
1 - x

C:\Users\...>