数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(正弦、余弦)、差

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題7の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{dx} (\sin x - \cos x) \\ = \cos x + \sin x \\ \frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sin x - \cos x) \\ = - \sin x + \cos x \\ \frac{d^{3}}{d x^{3}} (\sin x - \cos x) \\ = - \cos x - \sin x \end{array}$

よって、求める問題の関数に対する3次のテイラー多項式は、

$\begin{array}{l} - 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} - \frac{1}{3!} x^{3} \\ = - 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{6} x^{3} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, sin, cos

print('7.')

x = symbols('x')

f = sin(x) - cos(x)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(sin(x), cos(x), -cos(x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
   3    2        
  x    x         
- ── + ── + x - 1
  6    2         

C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年5月29日水曜日

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