数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(正接、正弦、余弦)、累乗(べき乗、平方)

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}{\tan }^{2}x\\ =\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}{\tan }^{2}x\\ =\frac{-2\left(\cos x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}\\ \frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}{\tan }^{2}x\\ =\frac{2{\cos }^{4}x-2\left(\sin x\right)3\left({\cos }^{2}x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{6}x}\\ =\frac{2}{{\cos }^{2}x}+\frac{6{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2}{{\cos }^{2}x}+\frac{6\left(1-{\cos }^{2}x\right)}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2}{{\cos }^{2}x}+\frac{6}{{\cos }^{4}x}-\frac{6}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{6}{{\cos }^{4}x}-\frac{4}{{\cos }^{2}x}\\ \frac{d^3}{d{x}^3}{\tan }^{2}x\\ =\frac{-24\left({\cos }^{3}x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{8}x}-\frac{8\left(\cos x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{4}x}\end{array}$

   よって求める問題との関数に対する3次のテイラー多項式は、

   $\frac{2}{2!}{x}^2=x^2$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, tan

print('6.')

x = symbols('x')

f = tan(x) ** 2
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Bash、cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
 2
x 

C:\Users\...>