数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(三角関数(余弦)、累乗(べき乗、立方))

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題10の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} + O (x^{6}) \\ \cos^{2} x \\ = {(1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4})}^{2} + O (x^{6}) \\ = 1 - x^{2} + (2 \cdot \frac{1}{4!} + {(\frac{1}{2})}^{2}) x^{4} + O (x^{6}) \\ = 1 - x^{2} + (\frac{1}{12} + \frac{1}{4}) x^{4} + O (x^{6}) \\ = 1 - x^{2} + \frac{1}{3} x^{4} + O (x^{6}) \\ \cos^{3} x \\ = (1 - x^{2} + \frac{1}{3} x^{4}) (1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4}) + O (x^{6}) \\ = 1 - \frac{3}{2} x^{2} + (\frac{1}{4!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3}) x^{4} + O (x^{6}) \\ = 1 - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1 + 12 + 8}{24} x^{4} + O (x^{6}) \\ = 1 - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{7}{8} x^{4} + O (x^{6}) \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, cos, factorial

print('10.')

x = symbols('x')
f = sum([(-1) ** (k + 1) * 1 / factorial(2 * k) * x ** (2 * k)
         for k in range(3)])
g = 1 - 3 * x ** 2 / 2 + 7 * x ** 4 / 8

for o in [f, g, (f ** 3).expand()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(cos(x), cos(x) ** 3, g,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
10.
   4    2    
  x    x     
- ── + ── - 1
  24   2     

   4      2    
7⋅x    3⋅x     
──── - ──── + 1
 8      2      

    12     10      8    6      4      2    
   x      x     7⋅x    x    7⋅x    3⋅x     
- ───── + ─── - ──── + ── - ──── + ──── - 1
  13824   384   192    4     8      2      


C:\Users\...>

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2019年5月19日日曜日

数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(三角関数(余弦)、累乗(べき乗、立方))

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