数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列式の存在(指数関数、複素数、一次独立、連立方程式、微分、導関数)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、4(行列式の存在)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $c_1{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{1}t}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_n{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{n}t}=0$

    がすべての t について成り立つとする。

    このとき、

    $c_i\left(i<n\right)$

    が 0ではないと仮定する。

    このとき、

    $\begin{array}{l}0\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->c_n{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{i}t}=-\left(c_1{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{1}t}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_{n-1}{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{n}t}\right)\\ c_1{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{1}t}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_{i-1}{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{i-1}t}+c_{i+1}{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{i+1}t}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_n{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{n}t}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\end{array}$

    よって、

    $c_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=c_{t-2}=c_{i+1}=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=c_n=0$

    ではない。

    よって帰納的に、

    $c_i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

    上記の関係式を次々と微分し、次の連立方程式を考える。

    $\begin{array}{l}{c}_1{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{1}t}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_n{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{n}t}=0\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ c_1{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1^{n-1}{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{1}t}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_n{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n^{n-1}{e}^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{n}t}=0\end{array}$

    係数の行列式、

    $\det \left[\begin{array}{ccc}{c}_1& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& c_n\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ c_1{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1^{n·\; <!--\; middle\; dot\; -->1}& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& c_n{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n^{n-1}\end{array}\right]$

    について、連立方程式はすでにのもの値について成り立つので、0でなければならない。

    ところが、

    $\begin{array}{l}\det \left[\begin{array}{ccc}{c}_1& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& c_n\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ c_1{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1^{n-1}& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& c_n{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n^{n-1}\end{array}\right]\\ =c_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->c_n\underset{i<j}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_j-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)\end{array}$

    は0ではない。

    よって 矛盾。

    ゆえに、

    $c_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=c_n=0$

    となり、問題の関数は複素数の上で1次独立である。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, exp

print('11.')

t = symbols('t')
eq = [symbols(f'c{i}') * exp(symbols(f'a{i}') * t) for i in range(1, 6)]

pprint(solve(eq))

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.
[{c₁: 0, c₂: 0, c₃: 0, c₄: 0, c₅: 0}]

C:\Users\...>