数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列式の存在(微分、導関数と行列式、帰納法、一般化)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、4(行列式の存在)、練習問題10の解答を求めてみる。

3×3行列式に拡張。

$\begin{array}{l} φ (t) \\ = \det [\begin{matrix} f (t) & g (t) & h (t) \\ f' (t) & g' (t) & h' (t) \\ f'' (t) & g'' (t) & h'' (t) \end{matrix}] \\ = f (t) (g' (t) h'' (t) - g'' (t) h' (t)) \\ - g (t) (f' (t) h'' (t) - f'' (t) h' (t)) \\ + h (t) (f' (t) g'' (t) - f'' (t) g' (t)) \\ φ' (t) \\ = f (t) (g' (t) h^{(3)} (t) - g^{(3)} h' (t)) \\ - g (t) (f' (t) h^{(3)} (t) - f^{(3)} (t) h' (t)) \\ + h (t) (f' (t) g^{(3)} (t) - f^{(3)} (t) g' (t)) \\ = \det [\begin{matrix} f (t) & g (t) & h (t) \\ f' (t) & g' (t) & h' (t) \\ f^{(3)} (t) & g^{(3)} (t) & h^{(3)} (t) \end{matrix}] \end{array}$

一般化。

$\begin{array}{l} f_{1} \det [\begin{matrix} f_{2}' & \dots & f_{n}' \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{2}^{(n - 1)} & \dots & f_{n}^{(n - 1)} \end{matrix}] - \dots + {(- 1)}^{n - 1} f_{n} \det [\begin{matrix} f_{1}' & \dots & f_{n - 1}^{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{1}^{(n - 1)} & \dots & f_{n - 1}^{(n - 1)} \end{matrix}] \\ = f_{1} \det [\begin{matrix} f_{2}' & \dots & f_{n}' \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{2}^{(n)} & \dots & f_{n}^{(n)} \end{matrix}] - \dots + {(- 1)}^{n - 1} f_{n} \det [\begin{matrix} f_{1}' & \dots & f_{n - 1}^{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{1}^{(n)} & \dots & f_{n - 1}^{(n)} \end{matrix}] \\ + f_{1}^{1} \det [\begin{matrix} f_{2}^{1} & \dots & f_{n}' \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{2}^{(n - 1)} & \dots & f_{n}^{(n - 1)} \end{matrix}] - \dots + {(- 1)}^{n - 1} f_{n}' \det [\begin{matrix} f_{n}' & \dots & f_{n - 1}^{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{1}^{(n - 1)} & \dots & f_{n - 1}^{(n - 1)} \end{matrix}] \\ = f_{1} \det [\begin{matrix} f_{2}' & \dots & f_{n}' \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{n}^{(n)} & \dots & f_{n}^{(n)} \end{matrix}] - \dots + {(- 1)}^{n - 1} f_{n} [\begin{matrix} f_{1} & \dots & f_{n - 1}^{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{1}^{(n)} & \dots & f_{n - 1}^{(n)} \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} f_{1} & \dots & f_{n} \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{1}^{(n)} & \dots & f_{n}^{(n)} \end{matrix}] \end{array}$

よって、帰納法により、一番下の行と微分すればし、この形の行列式の導関数が求められる。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Function, Derivative

print('10.')

t = symbols('t')

f = Function('f')(t)
g = Function('g')(t)
h = Function('h')(t)
A = Matrix([[Derivative(s, t, i) for s in [f, g, h]]
            for i in range(3)])

B = Matrix([[Derivative(s, t, i) for s in [f, g, h]]
            for i in [0, 1, 3]])
phi = A.det()
phi1 = B.det()
for o in [A, B, Derivative(phi, t, 1).doit() == phi1]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
10.
⎡  f(t)       g(t)       h(t)   ⎤
⎢                               ⎥
⎢d          d          d        ⎥
⎢──(f(t))   ──(g(t))   ──(h(t)) ⎥
⎢dt         dt         dt       ⎥
⎢                               ⎥
⎢  2          2          2      ⎥
⎢ d          d          d       ⎥
⎢───(f(t))  ───(g(t))  ───(h(t))⎥
⎢  2          2          2      ⎥
⎣dt         dt         dt       ⎦

⎡  f(t)       g(t)       h(t)   ⎤
⎢                               ⎥
⎢d          d          d        ⎥
⎢──(f(t))   ──(g(t))   ──(h(t)) ⎥
⎢dt         dt         dt       ⎥
⎢                               ⎥
⎢  3          3          3      ⎥
⎢ d          d          d       ⎥
⎢───(f(t))  ───(g(t))  ───(h(t))⎥
⎢  3          3          3      ⎥
⎣dt         dt         dt       ⎦

True


C:\Users\...>

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2019年5月28日火曜日

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