数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像の合成(基底、恒等写像、対応する行列)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像と行列)、3(線形写像の合成)、練習問題3の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} i d (1, 1, 0) = a_{11} (2, 1, 1) + a_{21} (0, 0, 1) + a_{31} (- 1, 1, 1) \\ i d (- 1, 1, 1) = a_{12} (2, 1, 1) + a_{22} (0, 0, 1) + a_{32} (- 1, 1, 1) \\ i d (0, 1, 2) = a_{13} (2, 1, 1) + a_{23} (0, 0, 1) + a_{33} (- 1, 1, 1) \\ 2 a_{11} - a_{31} = 1 \\ a_{11} + a_{31} = 1 \\ a_{11} + a_{21} + a_{31} = 0 \\ a_{11} = \frac{2}{3} \\ a_{31} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \\ a_{21} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = - 1 \\ 2 a_{12} - a_{32} = - 1 \\ a_{12} + a_{32} = 1 \\ a_{12} + a_{22} + a_{32} = 1 \\ a_{12} = 0 \\ a_{32} = 1 \\ a_{22} = 0 \\ 2 a_{13} - a_{33} = 0 \\ a_{13} + a_{33} = 1 \\ a_{13} + a_{23} + a_{33} = 2 \\ a_{13} = \frac{1}{3} \\ a_{33} = \frac{2}{3} \\ a_{23} = 1 \end{array}$
  
  よって、求める問題の2つの基底と恒等を後に対応する行列は、
  
  $M_{β}^{β}, (i d) = [\begin{matrix} \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ - 1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & 1 & \frac{2}{3} \end{matrix}]$
2. $\begin{array}{l} a_{11} - a_{21} + 2 a_{31} = 3 \\ a_{11} + 2 a_{21} - a_{31} = 2 \\ 4 a_{21} + a_{31} = 1 \\ a_{11} + 6 a_{21} = 3 \\ a_{11} = 3 - 6 a_{21} \\ a_{31} = 3 - 6 a_{21} + 2 a_{21} - 2 \\ = 1 - 4 a_{21} \\ 3 - 6 a_{21} - a_{21} + 2 - 8 a_{21} = 3 \\ a_{21} = \frac{2}{15} \\ a_{11} = 3 - 6 \cdot \frac{2}{15} = \frac{33}{15} \\ a_{31} = 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15} \\ a_{12} - a_{22} + 2 a_{32} = 0 \\ a_{12} + 2 a_{22} - a_{32} = - 2 \\ 4 a_{22} + a_{32} = 5 \\ a_{12} + 6 a_{22} = 3 \\ a_{12} = 3 - 6 a_{22} \\ 3 - 6 a_{22} - a_{22} + 2 a_{32} = 0 \\ a_{32} = \frac{7 a_{22} - 3}{2} \\ 4 a_{22} + \frac{7 a_{22} - 3}{2} = 5 \\ \frac{15}{2} a_{22} = \frac{13}{2} \\ a_{22} = \frac{13}{15} \\ a_{12} = 3 - 6 \cdot \frac{13}{15} = - \frac{33}{15} \\ a_{32} = \frac{7 \cdot \frac{13}{15} - 3}{2} \\ = \frac{23}{15} \\ a_{13} - a_{23} + 2 a_{33} = 1 \\ a_{13} + 2 a_{23} - a_{33} = 1 \\ 4 a_{23} + a_{33} = 2 \\ - 3 a_{23} + 3 a_{33} = 0 \\ a_{23} = a_{33} \\ a_{33} = \frac{2}{5} \\ a_{13} - \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = 1 \\ a_{13} = \frac{3}{5} \end{array}$
  
  よって求める行列は、
  
  $\frac{1}{15} [\begin{matrix} 33 & - 33 & 9 \\ 2 & 13 & 6 \\ 7 & 23 & 6 \end{matrix}]$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve


print('3.')

t = [(Matrix([[1, -1, 0],
              [1, 1, 1],
              [0, 1, 2]]),
      Matrix([[2, 0, -1],
              [1, 0, 1],
              [1, 1, 1]])),
     (Matrix([[3, 0, 1],
              [2, -2, 1],
              [1, 5, 2]]),
      Matrix([[1, -1, 2],
              [1, 2, -1],
              [0, 4, 1]]))]

X = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') for j in range(3)]
            for i in range(3)])

for i, (A, B) in enumerate(t):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(solve(B * X - A))
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
(a)
{a₁₁: 2/3, a₁₂: 0, a₁₃: 1/3, a₂₁: -1, a₂₂: 0, a₂₃: 1, a₃₁: 1/3, a₃₂: 1, a₃₃: 2
/3}

(b)
⎧                                                 13                          
⎨a₁₁: 11/5, a₁₂: -11/5, a₁₃: 3/5, a₂₁: 2/15, a₂₂: ──, a₂₃: 2/5, a₃₁: 7/15, a₃₂
⎩                                                 15                          

  23          ⎫
: ──, a₃₃: 2/5⎬
  15          ⎭


C:\Users\...>

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2019年5月14日火曜日

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