数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像の合成(ノルム、三角関数(正弦と余弦)、等式)

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像と行列)、3(線形写像の合成)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& -\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ \sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}x\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-y\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ x\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+y\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}\right]\\ {∥F_{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(x\right)∥}^2\\ ={\left(x\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-y\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+{\left(x\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+y\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2\\ =x^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+y^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-2xy\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+x^2{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+y^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+2xyin\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =x^2\left({\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+y^2\left({\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}t{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ =x^2+y^2\\ {∥X∥}^2=x^2+y^2\end{array}$

   よって、

   $∥F_{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(X\right)∥=∥X∥$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, sin, cos, pi, symbols, Matrix


print('2.')

x, y, theta = symbols('x, y, θ', real=True)
A = Matrix([[cos(theta), -sin(theta)],
            [sin(theta), cos(theta)]])
X = Matrix([[x],
            [y]])

for o in [A, X, A.norm(), X.norm(), A.norm() == X.norm()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
⎡cos(θ)  -sin(θ)⎤
⎢               ⎥
⎣sin(θ)  cos(θ) ⎦

⎡x⎤
⎢ ⎥
⎣y⎦

   _______________________
  ╱      2           2    
╲╱  2⋅sin (θ) + 2⋅cos (θ) 

   _________
  ╱  2    2 
╲╱  x  + y  

False


C:\Users\...>