数学 - Python - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 点の座標 - 平面上の2点間の距離、内分点・外分点 - 四辺形、辺の中点、線分、中点

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.1(点の座標)、平面上の2点間の距離、内分点・外分点の問8の解答を求めてみる。

8. 
   

   A、 B、 C、 D の座標をそれぞれ

   $\begin{array}{l}A=\left(x_1,y_1\right)\\ B=\left(x_2,y_2\right)\\ C=\left(x_3,y_3\right)\\ D=\left(x_4,y_4\right)\end{array}$

   とおく。このとき、辺 AB、 BC、 CD、 DAの中点P、 Q、 R、 S の座標はそれぞれ

   $\begin{array}{l}P=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\\ Q=\left(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}\right)\\ R=\left(\frac{x_3+x_4}{2},\frac{y_3+y_4}{2}\right)\\ S=\left(\frac{x_4+x_1}{2},\frac{y_4+y_1}{2}\right)\end{array}$

   線分 PR の中点の座標は、

   $\begin{array}{l}\left(\frac{\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}}{2},\frac{\frac{y_1+y_2}{2}+\frac{y_3+y_4}{2}}{2}\right)\\ =\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4},\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}\right)\end{array}$

   線分 QS の中点の座標は、

   $\begin{array}{l}\left(\frac{\frac{x_2+x_3}{2}+\frac{x_4+x_1}{2}}{2},\frac{\frac{y_2+y_3}{2}+\frac{y_4+y_1}{2}}{2}\right)\\ =\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2},\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{2}\right)\end{array}$

   よって問題の線分 PR と線分 QS は互いに他を二等分する。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('8.')

a = Matrix(symbols('x1, y1'))
b = Matrix(symbols('x2, y2'))
c = Matrix(symbols('x3, y3'))
d = Matrix(symbols('x4, y4'))

p = (a + b) / 2
q = (b + c) / 2
r = (c + d) / 2
s = (d + a) / 2

for o in [a, b, c, d, p, q, r, s, (p + r) / 2, (q + s) / 2,
          (p + r) / 2 == (q + s) / 2]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py
\8.
⎡x₁⎤
⎢  ⎥
⎣y₁⎦

⎡x₂⎤
⎢  ⎥
⎣y₂⎦

⎡x₃⎤
⎢  ⎥
⎣y₃⎦

⎡x₄⎤
⎢  ⎥
⎣y₄⎦

⎡x₁   x₂⎤
⎢── + ──⎥
⎢2    2 ⎥
⎢       ⎥
⎢y₁   y₂⎥
⎢── + ──⎥
⎣2    2 ⎦

⎡x₂   x₃⎤
⎢── + ──⎥
⎢2    2 ⎥
⎢       ⎥
⎢y₂   y₃⎥
⎢── + ──⎥
⎣2    2 ⎦

⎡x₃   x₄⎤
⎢── + ──⎥
⎢2    2 ⎥
⎢       ⎥
⎢y₃   y₄⎥
⎢── + ──⎥
⎣2    2 ⎦

⎡x₁   x₄⎤
⎢── + ──⎥
⎢2    2 ⎥
⎢       ⎥
⎢y₁   y₄⎥
⎢── + ──⎥
⎣2    2 ⎦

⎡x₁   x₂   x₃   x₄⎤
⎢── + ── + ── + ──⎥
⎢4    4    4    4 ⎥
⎢                 ⎥
⎢y₁   y₂   y₃   y₄⎥
⎢── + ── + ── + ──⎥
⎣4    4    4    4 ⎦

⎡x₁   x₂   x₃   x₄⎤
⎢── + ── + ── + ──⎥
⎢4    4    4    4 ⎥
⎢                 ⎥
⎢y₁   y₂   y₃   y₄⎥
⎢── + ── + ── + ──⎥
⎣4    4    4    4 ⎦

True


C:\Users\...>