数学 - 解析学 - 連続関数の性質と連続性 - 連続関数の性質(和の像と像の和、定数倍)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(連続関数の性質と連続性)、3.2(連続関数の性質)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   整数 n に対して、

   $\begin{array}{l}n=0\\ f\left(0\right)\\ =f\left(0+0\right)\\ =f\left(0\right)+f\left(0\right)\\ f\left(x\right)=0=c·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\\ n>0\\ f\left(n\right)\\ =f\left(1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+1\right)\\ =nf\left(1\right)\\ =cn\\ f\left(n\right)+f\left(-n\right)\\ =f\left(n-n\right)\\ =f\left(0\right)\\ =0\\ f\left(-n\right)\\ =-f\left(n\right)\\ =-cn\\ =c\left(-n\right)\end{array}$

   有理数

   $\frac{m}{n}\left(m,n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->},n>0\right)$

   に対して

   $\begin{array}{l}\mathrm{cm}\\ =f\left(m\right)\\ =f\left(n·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{m}{n}\right)\\ =nf\left(\frac{m}{n}\right)\end{array}$

   よって、

   $f\left(\frac{m}{n}\right)=c·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{m}{n}$

   問題の仮定より、 f は実数上で連続なので、実数 x に対して

   $f\left(x\right)=cx$

   が成り立つ。

   （証明終）