数学 - 圏論 - 序論 - 線型空間、線形写像、錐、直積、射影、普遍性

ベーシック圏論
普遍性からの速習コース
原著
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ベーシック圏論 普遍性からの速習コース (Tom Leinster(著)、斎藤 恭司(監修)、土岡 俊介(翻訳)、丸善出版)の序論、演習問題0.14-(a)の解答を求めてみる。

14. 
    
    1. 
       

       問題の定義より、 線型写像を

       $\begin{array}{l}{p}_1:P\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->X\\ p_2:P\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->Y\\ f_1:V\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->Z\\ f_2:V\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->W\end{array}$

       とおく。

       図式を書いてみる。

       よって、 錐

       $\left(P,p_1,p_2\right)$

       で、任意の錐

       $\left(V,f_1,f_2\right)$

       について、線型写像

       $f:V\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->P$

       であって、

       $p_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f=f_1\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->p_2\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f=f_2$

       なるものがただ一つ存在するのは、

       $\begin{array}{l}P=X\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->Y,f\left(v\right)=\left(f_1\left(v\right),f_2\left(v\right)\right)\\ p_1:X\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->Y\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->X\\ p_1\left(x,y\right)=x\\ p_2:X\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->Y\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->Y\\ p_2\left(x,y\right)=y\end{array}$

       である。（それぞれ直積、射影。）

       線型写像であることの確認。

       $\begin{array}{l}{p}_1\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =p_1\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =x_1+x_2\\ =p_1\left(x_1,y_2\right)+p_2\left(x_2,y_2\right)\\ p_1\left(c\left(x,y\right)\right)\\ p_1\left(cx,cy\right)\\ =cx\\ =c{p}_1\left(x,y\right)\end{array}$

       よって線型写像である。

       y についての射影も同様。

       追記。

       #今日の圏論 #ベーシック圏論
       昨日一人で考えていたところがちょうど今日の演習問題だったよ！😊(b)はまた次回。楽しくなってきた。 pic.twitter.com/ZM4TmQuCQ4

       — 結城浩 (@hyuki) 2019年6月9日

       #今日の圏論 #圏論ツイート
       でもこれだと任意のVに対してfが存在する（構成できる）とは言ってるけど、fが唯一とは言ってないような…🤔

       — 結城浩 (@hyuki) 2019年6月9日

       ということで、唯一であることをしっかりと確認してみた。

       f の 一意性について。

       f、 g と上記を満たす V から直積

       $X\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->Y$

       への写像とする。

       $\begin{array}{l}f:V\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->X\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->Y\\ g:V\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->X\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->Y\end{array}$

       v を V の任意の元とする。

       また、

       $\begin{array}{l}{f}_1\left(v\right)=x_0\\ f_2\left(v\right)=y_0\end{array}$

       とおく。

       これについて、

       $\begin{array}{l}{p}_1\left(x,y\right)=x_0\\ p_2\left(x,y\right)=y_0\end{array}$

       と共に満たす 直積

       $X\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->Y$

       の唯一のx元は

       $\left(x_0,y_0\right)$

       また、仮定

       $p_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f=f_1$

       より、

       $\begin{array}{l}\left(p_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\right)\left(v\right)=f_1\left(v\right)\\ \left(p_2\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\right)\left(v\right)=f_2\left(v\right)\\ p_1\left(f\left(v\right)\right)=x_0\\ p_2\left(f\left(v\right)\right)=y_0\\ f\left(v\right)=\left(x_0,y_0\right)\end{array}$

       同様に、

       $g\left(v\right)=\left(x_0,y_0\right)$

       よって、

       $f=g$

       ゆえに、仮定を満たす写像はただ一つ存在する。(一意性、普遍性)