数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 平均値の定理(ロルの定理、平均値の定理の証明方法の利用、平坦化)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(a\right)<0\\ f\text{'}\left(b\right)>0\\ \mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}=0\end{array}$

   と仮定する。

   $f\left(x\right)$

   が閉区間

   $\left[a,b\right]$

   の a で最小値をとると仮定すると、

   $f\text{'}\left(a\right)\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0$

   となり矛盾。

   よって、 a で最小値をとらない。

   b で最小値をとると仮定すると、

   $f\text{'}\left(b\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->0$

   となり矛盾。

   よって、 b で最小値をとらない。

   ゆえに、 f は開区間

   $\left(a,b\right)$

   の ある点 c で最小値をとる。

   このとき、

   $f\text{'}\left(c\right)=0=\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}$

   ゆえに問題のことは成り立つ。

   最初の仮定以外の場合。

   $f\left(x\right)-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}x$

   という 関数 について。

   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(f\left(x\right)-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}x\right)=f\text{'}\left(x\right)-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ f\text{'}\left(a\right)-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}<\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}<f\text{'}\left(b\right)-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ f\text{'}\left(a\right)-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}<0<f\text{'}\left(b\right)-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\end{array}$

   よって、 開区間

   $\left(a,b\right)$

   のある点 c が存在して、

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(c\right)-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}=0\\ f\text{'}\left(c\right)=\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\end{array}$

   ゆえに、問題の c は存在する。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, Derivative, solve, plot

print('5.')
x = symbols('x')
f = x ** 2
a = -2
b = 3
gamma = 1
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
for o in [f, f1]:
    pprint(o)
    print()

xs = solve(f1 - gamma)
pprint(xs)
c = xs[0]

p = plot(f, f1, f1.subs({x: c}) * (x - c) + f.subs({x: c}),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
 2
x 

2⋅x

[1/2]

C:\Users\...>