数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 平均値の定理(三角形の面積、最小値)

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   1. 
      

      点 A 、 B の座標をそれぞれ、

      $\begin{array}{l}A=\left(x_0,0\right)\\ B=\left(0,y_0\right)\end{array}$

      とおく。

      点 A、 B を通る直線の方程式。

      $y=-\frac{y_0}{x_0}x+y_0$

      仮定より、 この直線は 点 P を通るので、

      $\begin{array}{l}b=-\frac{y_0}{x_0}a+y_0\\ b{x}_0=-y_{0}a+x_0{y}_0\\ y_0=\frac{b}{x_0-a}{x}_0\end{array}$

      三角形 OAB の面積は、

      $\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}{x}_0{y}_0\\ =\frac{1}{2}{x}_0·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{b}{x_0-a}{x}_0\\ =\frac{1}{2}\frac{b{x}_0^2}{x_0-a}\end{array}$

      微分する。

      $\begin{array}{l}\frac{d}{{\mathrm{dx}}_0}S\\ =\frac{b}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2x_0\left(x_0-a\right)-x_0^2}{{\left(x_0-a\right)}^2}\\ =\frac{b}{2}\frac{x_0^2-2a{x}_0}{x_0-a}\end{array}$

      これについて、

      $\begin{array}{l}{x}_0=2a\\ \frac{d}{{\mathrm{dx}}_0}S=0\\ x_0<2a\\ \frac{d}{{\mathrm{dx}}_0}S<0\\ x_0>2a\\ \frac{d}{{\mathrm{dx}}_0}S>0\end{array}$

      よって、 求める 三角形 OAB の最小値は、

      $\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}\frac{b{\left(2a\right)}^2}{2a-a}\\ =2ab\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, solve, plot

print('3.')

a = 1
b = 2
x, x0 = symbols('x, x0', real=True)
y0 = b / (x0 - a) * x0
f = -y0 / x0 * x + y0
fs = [f.subs({x0: a0}) for a0 in [1.5 * a, 2 * a, 3 * a]]
pprint(fs)
p = plot(*fs,
         (x, 0, 10),
         ylim=(0, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
[6.0 - 4.0⋅x, 4 - 2⋅x, 3 - x]

C:\Users\...>