数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数、差、直線、極限、テイラーの公式、剰余項の評価

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題19の解答を求めてみる。

19. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(e^x-e^{-x}\right)\\ =e^x+e^{-x}\\ \frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\left(e^x-e^{-x}\right)\\ =e^x-e^{-x}\\ e^x-e^{-x}=2x+\frac{2}{3!}{x}^3+R_5\left(x\right)\\ \left|R_5\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|x\right|}^5}{5!}\\ \frac{e^x-e^{-x}}{x}\\ =2+\frac{1}{3}{x}^2+\frac{{\left|x\right|}^4}{5!}\end{array}$

    よって、求める極限は、

    $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{x}=2$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, exp

print('19.')

x = symbols('x', real=True)
f = (exp(x) - exp(-x)) / x
g = 2 + x ** 2 / 3
for o in [f, g]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, g,
         (x, -5, 5),
         ylim=(0, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color


p.show()
p.save('sample19.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample19.py
19.
 x    -x
ℯ  - ℯ  
────────
   x    

 2    
x     
── + 2
3     


C:\Users\...>