数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数、三角関数(正弦)、極限

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題25の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{dx} (e^{x} + e^{- x} - 2) \\ = e^{x} - e^{- x} \\ \frac{d^{2}}{{dx}^{2}} (e^{x} + e^{- x} - 2) \\ = e^{x} + e^{- x} \\ \frac{d^{3}}{{dx}^{3}} (e^{x} + e^{- x} - 2) \\ = e^{x} - e^{- x} \\ e^{x} + e^{- x} - 2 \\ = \frac{2}{2!} x^{2} + \frac{2}{4!} x^{2} + \dots \\ \sin x = x - \frac{1}{3!} x^{2} + \frac{1}{5!} x^{5} - \dots \\ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{x \sin x} = 1 \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, exp, sin

print('25.')

x = symbols('x')
f = (exp(x) + exp(-x) - 2) / (x * sin(x))

for dir in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=dir)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()
fs = [exp(x), exp(-x), exp(x) + exp(-x), exp(x) + exp(-x) - 2,
      x, sin(x), x * sin(x),
      f]
p = plot(*fs,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o in [fs, colors]:
    pprint(o)
    print()
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample25.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample25.py
25.
     ⎛ x        -x⎞
     ⎜ℯ  - 2 + ℯ  ⎟
 lim ⎜────────────⎟
x─→0⁺⎝  x⋅sin(x)  ⎠

1

     ⎛ x        -x⎞
     ⎜ℯ  - 2 + ℯ  ⎟
 lim ⎜────────────⎟
x─→0⁻⎝  x⋅sin(x)  ⎠

1

⎡                                                       x        -x⎤
⎢ x   -x   x    -x   x        -x                       ℯ  - 2 + ℯ  ⎥
⎢ℯ , ℯ  , ℯ  + ℯ  , ℯ  - 2 + ℯ  , x, sin(x), x⋅sin(x), ────────────⎥
⎣                                                        x⋅sin(x)  ⎦

[red, green, blue, brown, orange, purple, pink, gray, skyblue, yellow]


C:\Users\...>

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2019年6月22日土曜日

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