数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 指数関数、和、逆数、微分

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題13の解答を求めてみる。

13. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{1}{e^x+e^{-x}}\\ =\frac{-\left(e^x-e^{-x}\right)}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2}\\ =\frac{-e^x+e^{-x}}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2}\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\frac{1}{e^x+e^{-x}}\\ =\frac{\left(-e^x-e^{-x}\right){\left(e^x+e^{-x}\right)}^2}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^4}\\ -\frac{\left(-e^x+e^{-x}\right)2\left(e^x+e^{-x}\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^4}\\ =\frac{\left(-e^x-e^{-x}\right)\left(e^x+e^{-x}\right)-2\left(-e^x+e^{-x}\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^3}\\ =\frac{-e^{2x}-1-1-e^{-2x}-2\left(-e^{2x}+1+1-e^{-2x}\right)}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^3}\\ =\frac{e^{2x}+e^{-2x}-6}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^3}\\ \frac{d^3}{d{x}^3}\frac{1}{e^x+e^{-x}}\\ =\frac{\left(2e^{2x}-2e^{-2x}\right){\left(e^x+e^{-x}\right)}^3}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^6}\\ -\frac{\left(e^{2x}+e^{-2x}-6\right)3{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2\left(e^x-e^{-x}\right)}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^6}\end{array}$

    よって、求める 問題の関数に対する3次のテイラー多項式は、

    $\begin{array}{l}\frac{1}{2}+\frac{1}{2!}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-\frac{1}{2}\right)x^2\\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}{x}^2\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, exp

print('13.')

x = symbols('x')

f = 1 / (exp(x) + exp(-x))
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(exp(x), exp(-x), exp(x) + exp(-x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample13.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample13.py
13.
     2
1   x 
─ - ──
2   4 

C:\Users\...>