数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(余弦)、指数関数、積、微分

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題10の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{dx} ((\cos x) e^{x}) \\ = (- \sin x) e^{x} + (\cos x) e^{x} \\ \frac{d^{2}}{d x^{2}} ((\cos x) e^{x}) \\ = (- \cos x) e^{x} + (- \sin x) e^{x} + (- \sin x) e^{x} + (\cos x) e^{x} \\ = - 2 (\sin x) e^{x} \\ \frac{d^{3}}{{dx}^{3}} ((\cos x) e^{x}) \\ = - 2 (\cos x) e^{x} - 2 (\sin x) e^{x} \end{array}$

よって、求める問題の関数に対する3次のテイラー多項式は、

$\begin{array}{l} 1 + x - \frac{2}{3!} x^{3} \\ = 1 + x - \frac{1}{3} x^{3} \end{array}$

他の求め方。

$\begin{array}{l} (\cos x) e^{x} \\ = (1 - \frac{1}{2!} x^{2}) (1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3}) + O (x^{4}) \\ = 1 + x + (- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{3}) + O (x^{4}) \\ = 1 + x - \frac{1}{3} x^{3} + O (x^{4}) \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, cos, exp

print('10.')

x = symbols('x')

f = cos(x) * exp(x)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(cos(x), exp(x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
10.
   3        
  x         
- ── + x + 1
  3         

C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年6月1日土曜日

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