数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(余弦)、指数関数、積、微分

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\left(\cos x\right)e^x\right)\\ =\left(-\sin x\right)e^x+\left(\cos x\right)e^x\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\left(\left(\cos x\right)e^x\right)\\ =\left(-\cos x\right)e^x+\left(-\sin x\right)e^x+\left(-\sin x\right)e^x+\left(\cos x\right)e^x\\ =-2\left(\sin x\right)e^x\\ \frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}\left(\left(\cos x\right)e^x\right)\\ =-2\left(\cos x\right)e^x-2\left(\sin x\right)e^x\end{array}$

    よって、求める問題の関数に対する3次のテイラー多項式は、

    $\begin{array}{l}1+x-\frac{2}{3!}{x}^3\\ =1+x-\frac{1}{3}{x}^3\end{array}$

    他の求め方。

    $\begin{array}{l}\left(\cos x\right)e^x\\ =\left(1-\frac{1}{2!}{x}^2\right)\left(1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3\right)+O\left(x^4\right)\\ =1+x+\left(-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{6}{x}^3\right)+O\left(x^4\right)\\ =1+x-\frac{1}{3}{x}^3+O\left(x^4\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, cos, exp

print('10.')

x = symbols('x')

f = cos(x) * exp(x)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(cos(x), exp(x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
10.
   3        
  x         
- ── + x + 1
  3         

C:\Users\...>